Chapitre II. Dérivation
II.1.18. Établir les égalités suivantes en utilisant le résultat du problème précédent.
(a)
n
k=0
n
k
(−1)
k
x + k
=
n!
x(x + 1)(x + 2) · · · (x + n)
pour x ∈ R \ {−n, −(n − 1), . . . , −1, 0},
(b)
n
k=0
n
k
(−1)
k
x + 2k
=
n! 2 n
x(x + 2)(x + 4) · · · (x + 2n)
pour x ∈ R \ {−2n, −2(n − 1), . . . , −2, 0}.
II.1.19. Soit f une fonction dérivable sur R. Décrire les points où |f | est dérivable.
II.1.20. Soit f 1 , f 2 , . . . , f n des fonctions définies dans un voisinage de x, ne
s’annulant pas en x et dérivables en ce point. Prouver que
n
k=1
f k
n
k=1
f k
(x) =
n
k=1
f
k (x)
f k (x)
.
II.1.21. Soit f 1 , f 2 , . . . , f n , g 1 , g 2 , . . . , g n des fonctions définies dans un voisinage
de x, ne s’annulant pas en x et dérivables en ce point. Prouver que
n
k=1
f k
g k
(x) =
n
k=1
f k
g k
(x)
n
k=1
f
k (x)
f k (x)
−
g
k (x)
g k (x)
.
II.1.22. Étudier la dérivabilité de f et |f | pour
(a)
f (x) =
x
si x ∈ Q,
sin x si x ∈ R \ Q,
(b)
f (x) =
x −
3
2 k
si x ∈ Q ∩
1
2 k−1 ,
1
2 k−2
, k 2,
sin
x −
3
2 k
si x ∈ (R \ Q) ∩
1
2 k−1 ,
1
2 k−2
, k 2.
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