Énoncés
(b) On pose
A = {y ∈ ]0 , 3[ : y ∈ Q,
√ y /
∈ Q} ,
B =
x : x =
y + 4
2
, y ∈ A
et on définit f par
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 2
pour x ∈ Q ∩ ]0 , 2[,
2x − 1 pour x ∈ (R \ Q) ∩ ]0 , 2[,
2x − 4 pour x ∈ B.
Démontrer que l’intervalle ]0 , 3[ est inclus dans l’image directe de f et que
la fonction réciproque n’est pas dérivable en 1.
II.1.16. Soit f la fonction définie sur R par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
0 si x est irrationnel ou x = 0,
a q si x =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q premiers entre eux,
la suite {a q } vérifiant lim
n→+∞
n k a n = 0 pour un certain entier k 2. Prouver que
f est dérivable en tout irrationnel algébrique (1) de degré au plus k.
II.1.17. Soit P un polynôme de degré n ayant n racines réelles distinctes
x 1 , x 2 , . . . , x n et Q un polynôme de degré au plus n − 1. Prouver que
Q(x)
P (x)
=
n
k=1
Q(x k )
P (x k )(x − x k )
pour x ∈ R \ {x 1 , x 2 , . . . , x n } et déterminer la somme
n
k=1
1
P (x k ) , n 2.
(1) Un nombre est algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers. Il est de
degré k s’il est racine d’un polynôme à coefficients entiers de degré k mais n’est racine d’aucun
polynôme à coefficients entiers de degré strictement inférieur à k. (N.d.T.)
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