Chapitre II. Dérivation
II.1.11. Pour a > 0 et m, k ∈ N ∗ , calculer
(a)
lim
n→+∞
(n + 1)
m + (n + 2)
m + . . . + (n + k)
m
n m−1
− kn
,
(b)
lim
n→+∞
a +
1
n
n
a +
2
n
n · · ·
a +
k
n
n
a nk
,
(c)
lim
n→+∞
1 +
a
n 2
1 +
2a
n 2
· · ·
1 +
na
n 2
.
II.1.12. Soit f une fonction dérivable en 0 telle que f (0) = 0. Pour k ∈ N ∗ ,
trouver
lim
x→0
1
x
f (x) + f
x
2
+ f
x
3
+ . . . + f
x
k
.
II.1.13. Soit f une fonction dérivable en a et {x n } et {z n } deux suites convergentes vers a telles que x n = a, z n = a et x n = z n pour n ∈ N ∗ . Donner un
exemple de fonction f pour laquelle
lim
n→+∞
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
(a) est égale à f (a),
(b) n’existe pas ou existe mais est différente de f (a).
II.1.14. Soit f une fonction dérivable en a, {x n } et {z n } deux suites convergentes vers a telles que x n < a < z n pour n ∈ N ∗ . Prouver que
lim
n→+∞
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
= f
(a).
II.1.15.
(a) Montrer que la fonction f définie sur ]0 , 2[ par
f (x) =
x 2
pour x ∈ Q ∩ ]0 , 2[,
2x − 1 pour x ∈ (R \ Q) ∩ ]0 , 2[
n’est dérivable qu’en x = 1 et que f (1) = 0. La fonction réciproque est-elle
dérivable en 1 = y = f (1) ?
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