Énoncés
II.1.6. Déterminer les sommes suivantes :
(a)
n
k=0
ke
kx , x ∈ R,
(b)
2n
k=0
(−1)
k
2n
k
k
n , n 1,
(c)
n
k=1
k cos(kx), x ∈ R.
II.1.7. Prouver que si |a 1 sin x + a 2 sin 2x + . . . + a n sin nx| |sin x| pour
x ∈ R, alors |a 1 + 2a 2 + . . . + na n | 1.
II.1.8. Soit f et g deux fonctions dérivables en a. Déterminer les limites
(a) lim
x→a
xf (a) − af (x)
x − a
,
(b) lim
x→a
f (x)g(a) − f (a)g(x)
x − a
.
II.1.9. Soit f une fonction dérivable en a telle que f (a) > 0. Déterminer les
limites
(a)
lim
n→+∞
f
a +
1
n
f (a)
1
n
,
(b) lim
x→a
f (x)
f (a)
1
ln x−ln a
, a > 0.
II.1.10. Soit f une fonction dérivable en a. Déterminer les limites suivantes :
(a)
lim
x→a
a n f (x) − x n f (a)
x − a
, n ∈ N
∗ ,
(b)
lim
x→a
f (x)e x − f (a)
f (x) cos x − f (a)
, a = 0, f
(0) = 0,
(c)
lim
n→+∞
n
f
a +
1
n
+ f
a +
2
n
+ . . . + f
a +
k
n
− kf (a)
, k ∈ N
∗ ,
(d)
lim
n→+∞
f
a +
1
n 2
+ f
a +
2
n 2
+ . . . + f
a +
n
n 2
− nf (a)
.
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