Chapitre II. Dérivation
II.1.3. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
(a)
f (x) =
⎧
⎨
⎩
Arctan x
si |x| 1,
π
4 sgn x +
x−1
2
si |x| > 1,
(b)
f (x) =
⎧
⎨
⎩
x 2 e −x 2 si |x| 1,
1
e
si |x| > 1,
(c)
f (x) =
⎧
⎨
⎩
Arctan
1
|x| si x = 0,
π
2
si x = 0.
II.1.4. Montrer que la fonction définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
x 2
cos
π
x
si x = 0,
0
si x = 0
n’est pas dérivable en x n =
2
2n+1 , n ∈ Z, mais est dérivable en 0 qui est un point
d’accumulation de {x n : n ∈ Z}.
II.1.5. Déterminer les constantes a, b, c et d pour que f soit dérivable sur R :
(a)
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
4x
si x 0,
ax 2 + bx + c si 0 < x < 1,
3 − 2x
si x 1,
(b)
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ax + b
si x 0,
cx 2 + dx si 0 < x 1,
1 −
1
x
si x > 1,
(c)
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ax + b si x 1,
ax 2 + c si 1 < x 2,
dx 2 +1
x
si x > 2.
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