Chapitre I. Limites et continuité
si d 1 (x, y) < δ x . Puisque A est compact, il existe x 1 , . . . , x n ∈ A tels que
A ⊂
n
k=1
B
x k ,
1
3
δ x k
.
On pose δ 1 =
1
3 min {δ x 1 , . . . , δ xn }, δ 2 > 0 défini comme précédemment et
δ = min {δ 1 , δ 2 }. Soit x et y ∈ X tels que d 1 (x, y) < δ. Si dist(x, A) > δ 1 ,
alors ρ(x) > δ 2 et d 1 (x, y) < δ δ 2 seulement si x = y. Évidemment alors,
|f (x) − f (y)| < ε. Si dist(x, A) δ 1 , il existe a ∈ A tel que d 1 (x, a) < δ 1 . Il
découle de ce qui précède qu’il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que d 1 (a, x k ) <
1
3 δ x k .
Ainsi,
d 1 (y, x k ) d 1 (y, x) + d 1 (x, a) + d 1 (a, x k ) < δ + δ 1 +
1
3
δ x k δ x k
et
|f (x) − f (y)| |f (x) − f (x k )| + |f (x k ) − f (y)| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Ceci prouve la continuité uniforme de f sur X.
I.7.28. On sait (voir I.7.9) que toute fonction continue sur un espace métrique compact est uniformément continue sur cet espace. L’énoncé affirme que
chaque ensemble {x ∈ X : ρ(x) > ε}, ε > 0, est fini si X est compact. Supposons, au contraire, qu’il existe un ε > 0 tel que l’ensemble {x ∈ X : ρ(x) > ε}
soit infini. Puisque la famille des boules {B(x, ε), x ∈ X} forme un recouvrement ouvert de X, elle contient un sous-recouvrement fini, ce qui contredit le
fait que ρ(x) > ε pour une infinité de x.
On suppose maintenant que toute fonction à valeurs réelles continue sur X
est uniformément continue et que tout ensemble {x ∈ X : ρ(x) > ε} est fini et
on prouve que X est compact. Soit {x n } une suite de points de X. Si un terme
de la suite apparaît une infinité de fois, cette suite contient alors évidemment
une sous-suite convergente. Si ce n’est pas le cas, alors lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0 car
les ensembles {x ∈ X : ρ(x) > ε} sont finis. D’après le résultat du problème
précédent, {x n } contient une sous-suite convergente.
I.7.29. Il suffit de considérer X = [0 , 1] ∪ {2} ∪ {3} ∪ {4} ∪ . . . muni de la
distance euclidienne usuelle d 1 (x, y) = |x − y|.
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si d 1 (x, y) < δ x . Puisque A est compact, il existe x 1 , . . . , x n ∈ A tels que
A ⊂
n
k=1
B
x k ,
1
3
δ x k
.
On pose δ 1 =
1
3 min {δ x 1 , . . . , δ xn }, δ 2 > 0 défini comme précédemment et
δ = min {δ 1 , δ 2 }. Soit x et y ∈ X tels que d 1 (x, y) < δ. Si dist(x, A) > δ 1 ,
alors ρ(x) > δ 2 et d 1 (x, y) < δ δ 2 seulement si x = y. Évidemment alors,
|f (x) − f (y)| < ε. Si dist(x, A) δ 1 , il existe a ∈ A tel que d 1 (x, a) < δ 1 . Il
découle de ce qui précède qu’il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que d 1 (a, x k ) <
1
3 δ x k .
Ainsi,
d 1 (y, x k ) d 1 (y, x) + d 1 (x, a) + d 1 (a, x k ) < δ + δ 1 +
1
3
δ x k δ x k
et
|f (x) − f (y)| |f (x) − f (x k )| + |f (x k ) − f (y)| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Ceci prouve la continuité uniforme de f sur X.
I.7.28. On sait (voir I.7.9) que toute fonction continue sur un espace métrique compact est uniformément continue sur cet espace. L’énoncé affirme que
chaque ensemble {x ∈ X : ρ(x) > ε}, ε > 0, est fini si X est compact. Supposons, au contraire, qu’il existe un ε > 0 tel que l’ensemble {x ∈ X : ρ(x) > ε}
soit infini. Puisque la famille des boules {B(x, ε), x ∈ X} forme un recouvrement ouvert de X, elle contient un sous-recouvrement fini, ce qui contredit le
fait que ρ(x) > ε pour une infinité de x.
On suppose maintenant que toute fonction à valeurs réelles continue sur X
est uniformément continue et que tout ensemble {x ∈ X : ρ(x) > ε} est fini et
on prouve que X est compact. Soit {x n } une suite de points de X. Si un terme
de la suite apparaît une infinité de fois, cette suite contient alors évidemment
une sous-suite convergente. Si ce n’est pas le cas, alors lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0 car
les ensembles {x ∈ X : ρ(x) > ε} sont finis. D’après le résultat du problème
précédent, {x n } contient une sous-suite convergente.
I.7.29. Il suffit de considérer X = [0 , 1] ∪ {2} ∪ {3} ∪ {4} ∪ . . . muni de la
distance euclidienne usuelle d 1 (x, y) = |x − y|.
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