Solutions
B(x 1 , δ x 1 ), . . . , B(x n , δ xn ). Donc pour x ∈ X, il existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tel
que x ∈ B(x i , δ x i ). Il s’ensuit que
|f (x)| |f (x) − f (x i )| + |f (x i )| ε + max {f (x 1 ), f(x 2 ), . . . , f(x n )} ,
ce qui prouve que f est bornée sur X.
On suppose maintenant que toute fonction à valeurs réelles continue sur X
est bornée et on suppose, contrairement à l’énoncé, que X n’est pas compact.
On peut alors trouver une suite {x n } d’éléments de X ne contenant aucune
sous-suite convergente et l’ensemble F = {x n : n ∈ N ∗ } est fermé dans X. La
fonction f définie par f (x n ) = n est continue sur F. D’après le théorème de
prolongement de Tiezte, il existe un prolongement continu de f défini sur X.
On a donc construit une fonction continue et non bornée, contradiction.
I.7.27. On montre d’abord que (a) implique (b). On suppose donc que (a) est
vérifiée, que lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0 et, contrairement à l’énoncé, que {x n } ne contient
pas de sous-suite convergente. Il existe alors une suite {y n } d’éléments de X
telle que lim
n→+∞
d 1 (x n , y n ) = 0 et y n = x n pour tout n ∈ N ∗ . Si {y n } contient
une sous-suite convergente {y n k }, alors lim
k→+∞
d 1 (x n k , y n k ) = 0 implique que
{x n k } est aussi convergente. Donc, {y n } ne contient pas de sous-suite convergente et aucun terme des suites {x n } et {y n } ne se répète une infinité de fois.
Il existe une suite strictement croissante {n k } d’entiers strictement positifs
telle que les ensembles infinis F 1 = {x n k : k ∈ N ∗ } et F 2 = {y n k : k ∈ N ∗ }
soient fermés et disjoints. D’après le lemme de Urysohn, il existe une fonction
continue f : X −→ R prenant la valeur 1 sur F 1 et la valeur 0 sur F 2 . Ainsi,
|f (x n k ) − f (y n k )| = 1 et
lim
k→+∞
d 1 (x n k , y n k ) = 0.
La fonction f est donc continue mais pas uniformément continue sur X, ce qui
contredit (a).
Pour montrer que (b) implique (a), on note A l’ensemble des points d’accumulation de X. D’après (b), toute suite d’éléments de A admet une sous-suite
convergente vers un élément de A et A est donc compact. Si X = A, pour
δ 1 > 0, on pose alors δ 2 = inf {ρ(x) : x ∈ X, dist(x, A) > δ 1 } et on prouve que
δ 2 > 0. Si δ 2 = 0, il existe alors une suite {x n } d’éléments de X telle que
lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0 et dist(x n , A) > δ 1 . D’après (b), {x n } admet une sous-suite
convergente vers un élément de A, contradiction. Soit ε > 0 et f : X −→ R
une fonction continue. Pour x ∈ A, il existe δ x > 0 tel que |f (x) − f (y)| <
1
2 ε
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B(x 1 , δ x 1 ), . . . , B(x n , δ xn ). Donc pour x ∈ X, il existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tel
que x ∈ B(x i , δ x i ). Il s’ensuit que
|f (x)| |f (x) − f (x i )| + |f (x i )| ε + max {f (x 1 ), f(x 2 ), . . . , f(x n )} ,
ce qui prouve que f est bornée sur X.
On suppose maintenant que toute fonction à valeurs réelles continue sur X
est bornée et on suppose, contrairement à l’énoncé, que X n’est pas compact.
On peut alors trouver une suite {x n } d’éléments de X ne contenant aucune
sous-suite convergente et l’ensemble F = {x n : n ∈ N ∗ } est fermé dans X. La
fonction f définie par f (x n ) = n est continue sur F. D’après le théorème de
prolongement de Tiezte, il existe un prolongement continu de f défini sur X.
On a donc construit une fonction continue et non bornée, contradiction.
I.7.27. On montre d’abord que (a) implique (b). On suppose donc que (a) est
vérifiée, que lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0 et, contrairement à l’énoncé, que {x n } ne contient
pas de sous-suite convergente. Il existe alors une suite {y n } d’éléments de X
telle que lim
n→+∞
d 1 (x n , y n ) = 0 et y n = x n pour tout n ∈ N ∗ . Si {y n } contient
une sous-suite convergente {y n k }, alors lim
k→+∞
d 1 (x n k , y n k ) = 0 implique que
{x n k } est aussi convergente. Donc, {y n } ne contient pas de sous-suite convergente et aucun terme des suites {x n } et {y n } ne se répète une infinité de fois.
Il existe une suite strictement croissante {n k } d’entiers strictement positifs
telle que les ensembles infinis F 1 = {x n k : k ∈ N ∗ } et F 2 = {y n k : k ∈ N ∗ }
soient fermés et disjoints. D’après le lemme de Urysohn, il existe une fonction
continue f : X −→ R prenant la valeur 1 sur F 1 et la valeur 0 sur F 2 . Ainsi,
|f (x n k ) − f (y n k )| = 1 et
lim
k→+∞
d 1 (x n k , y n k ) = 0.
La fonction f est donc continue mais pas uniformément continue sur X, ce qui
contredit (a).
Pour montrer que (b) implique (a), on note A l’ensemble des points d’accumulation de X. D’après (b), toute suite d’éléments de A admet une sous-suite
convergente vers un élément de A et A est donc compact. Si X = A, pour
δ 1 > 0, on pose alors δ 2 = inf {ρ(x) : x ∈ X, dist(x, A) > δ 1 } et on prouve que
δ 2 > 0. Si δ 2 = 0, il existe alors une suite {x n } d’éléments de X telle que
lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0 et dist(x n , A) > δ 1 . D’après (b), {x n } admet une sous-suite
convergente vers un élément de A, contradiction. Soit ε > 0 et f : X −→ R
une fonction continue. Pour x ∈ A, il existe δ x > 0 tel que |f (x) − f (y)| <
1
2 ε
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