Chapitre I. Limites et continuité
La continuité de f implique que les F n sont fermés. Par hypothèse, pour tout
x ∈ X, il existe un entier n x strictement positif tel que |f (x)| n x pour tout
f ∈ F. Donc, x ∈ F nx et X =
+∞
n=1
F n . Puisque (X, d 1 ) est un ensemble de
seconde catégorie (5) , il existe un F n 0 d’intérieur non vide. Posons G =
◦
ø
F n 0 .
On a alors |f (x)| n 0 pour tout f ∈ F et tout x ∈ G.
I.7.24. On sait que
f
+∞
n=1
F n
⊂
+∞
n=1
f (F n ).
On montre que si f est continue, alors
+∞
n=1
f (F n ) ⊂ f
+∞
n=1
F n
.
Soit y ∈
+∞
n=1
f (F n ). Pour tout entier n > 0, y ∈ f (F n ) ou, dit autrement,
y = f (x n ) pour un x n ∈ F n . D’après le théorème des ensembles emboîtés
de Cantor,
+∞
n=1
F n = {x 0 } pour un certain x 0 ∈ F. Par continuité de f ,
y = lim
n→+∞
f (x n ) = f (x 0 ). Donc, y ∈ f
+∞
n=1
F n
.
I.7.25. Pour u, v ∈ X, on a
d(f u , f v ) = sup {|d 1 (u, x) − d 1 (v, x)| : x ∈ X} d 1 (u, v).
De plus,
d(f u , f v ) = sup {|d 1 (u, x) − d 1 (v, x)| : x ∈ X}
|d 1 (u, u) − d 1 (v, u)| = d 1 (u, v).
I.7.26. On suppose d’abord que X est un espace métrique compact et que
f : X −→ R est continue. Étant donné ε > 0 et x ∈ X, il existe alors
δ x > 0 tel que |f (y) − f (x)| < ε pour |y − x| < δ x . La famille {B(x, δ x )}
étant un recouvrement ouvert de X, il existe un sous-recouvrement fini
(5) Un ensemble est de seconde catégorie s’il n’est pas de première catégorie. (N.d.T.)
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