Solutions
on observe que
X \ C = X \
+∞
n=1
G(1/n) =
+∞
n=1
(X \ G(1/n)) .
L’ensemble X \ C des points de discontinuité de f est donc de première catégorie.
I.7.21. On utilise les notations de la solution du problème précédent. On a
X \ G(1/k) ⊂ X \
+∞
m=1
◦
ý
F m (1/k) ⊂
+∞
m=1
F m (1/k) \
◦
ý
F m (1/k)
,
d’où
+∞
k=1
(X \ G(1/k)) ⊂
+∞
k=1
+∞
m=1
F m (1/k) \
◦
ý
F m (1/k)
.
L’ensemble X \ C est donc un sous-ensemble de l’union d’une famille dénombrable d’ensembles fermés et nulle part denses (leurs complémentaires sont
ouverts et denses dans X). Il s’ensuit que C contient une intersection dénombrable d’ensembles ouverts et denses. D’après le théorème de Baire, C est
dense dans X.
I.7.22. Pour ε > 0, on pose
F k = {0} ∪
nk
x > 0 :
f
x
n
ε
, k ∈ N
∗ .
Puisque f est continue, ces ensembles sont fermés (voir I.7.1). Par hypothèse,
+∞
k=1
F k = R + . D’après le théorème de Baire, au moins un des ensembles F k
est d’intérieur non vide. Il existe donc a > 0, δ > 0 et k ∈ N ∗ tels que
]a − δ , a + δ[ ⊂ F k . On peut supposer, sans perte de généralité, que δ
a
k . Si
0 < x δ et n =
a
x
, alors a − δ a − x < nx a < a + δ et n k. Donc,
nx ∈ F k et, par définition de F k ,
f (x) =
f
nx
n
ε,
ce qui implique lim
x→0 +
f (x) = 0.
I.7.23. On définit F n comme suit :
F n = {x ∈ X : |f (x)| n pour tout f ∈ F} .
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