Chapitre I. Limites et continuité
La continuité de f et f m en x 0 implique qu’il existe une boule B(x 0 , δ) telle
que
|f (x) − f (x 0 )|
ε
3
et |f m (x) − f m (x 0 )|
ε
3
pour x ∈ B(x 0 , δ). Donc, |f (x) − f m (x)| ε si x ∈ B(x 0 , δ). Ceci signifie que
x 0 ∈
◦
û
P m (ε) ⊂ G(ε). Puisque l’on peut choisir arbitrairement ε > 0, on voit
que x 0 ∈ C.
Si maintenant
x 0 ∈ C =
+∞
n=1
G(1/n),
alors x 0 ∈ G(ε/3) pour tout ε > 0. Il existe donc un entier m > 0 tel que
x 0 ∈
◦
ý
P m (ε/3). En conséquence, il existe une boule B(x 0 , δ) telle que
|f (x) − f m (x)|
ε
3
si x ∈ B(x 0 , δ). Puisque f m est continue, ceci montre que f est continue en x 0 .
Notre but est maintenant de prouver que X \ C est un ensemble de première
catégorie. On définit pour cela
F m (ε) = {x ∈ X : |f m (x) − f m+k (x)| ε pour tout k ∈ N
∗
} .
La continuité de f n (n ∈ N ∗ ) implique que F m (ε) est fermé. On voit que
X =
+∞
m=1
F m (ε) et F m (ε) ⊂ P m (ε) car f (x) = lim
n→+∞
f n (x) pour x ∈ X. Donc,
+∞
m=1
◦
ú
F m (ε) ⊂ G(ε).
On remarque alors que pour tout F ⊂ X, l’intérieur de F \
◦
F est vide car
◦
ú
F \
◦
F ⊂
◦
F \
◦
ô ◦
F = ∅. De plus, si F est fermé, alors F \
◦
F est fermé, donc nulle
part dense. Puisque
X \
+∞
m=1
◦
ú
F m (ε) ⊂
+∞
m=1
F m (ε) \
◦
ú
F m (ε)
,
l’ensemble X\
+∞
m=1
◦
ú
F m (ε) est de première catégorie. De plus, l’ensemble X\G(ε)
est aussi de première catégorie car X \ G(ε) ⊂ X \
+∞
m=1
◦
ú
F m (ε). Finalement,
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