Solutions
Donc,
o f (x, δ) sup {d 2 (g 1 (x), g 1 (y)) : y ∈ A ∩ B(x, δ)}
+ sup {d 2 (g 1 (x), g 2 (y)) : y ∈ (X \ A) ∩ B(x, δ)}
o g 1 (x, δ) + sup {d 2 (g 1 (x), g 2 (y)) : y ∈ (X \ A) ∩ B(x, δ)}
o g 1 (x, δ) + sup {d 2 (g 1 (x), g 2 (x))
+d 2 (g 2 (x), g 2 (y)) : y ∈ (X \ A) ∩ B(x, δ)}
o g 1 (x, δ) + d 2 (g 1 (x), g 2 (x)) + o g 2 (x, δ).
Puisque g 1 et g 2 sont continues, on obtient, d’après I.7.12,
o f (x) d 2 (g 1 (x), g 2 (x)).
(1)
Notre but est maintenant de montrer que
o f (x) d 2 (g 1 (x), g 2 (x)) pour x ∈ A.
(2)
Soit {δ n } une suite de réels strictement positifs convergente vers 0. Puisque
◦
A = ∅, l’ensemble X \ A est dense dans X et chaque boule B(x, δ n ) contient
un point y n de X \ A. Donc,
sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ B(x, δ n )}
sup {d 2 (g 1 (x), g 2 (y)) : y ∈ B(x, δ n ) ∩ (X \ A)}
d 2 (g 1 (x), g 2 (y n )).
Ceci, combiné à la continuité de g 2 , implique
lim
n→+∞
sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ B(x, δ n )} d 2 (g 1 (x), g 2 (x)),
ce qui donne (2). Les inégalités (1) et (2) impliquent que l’égalité cherchée est
vérifiée pour tout x ∈ A. De la même façon (en utilisant la densité de A), on
peut prouver que l’égalité est aussi vérifiée pour x ∈ X \ A.
I.7.20. On suppose que {f n } est une suite de fonctions continues sur X telle
que f (x) = lim
n→+∞
f n (x). Pour ε > 0, on pose
P m (ε) = {x ∈ X : |f (x) − f m (x)| ε}
et G(ε) =
+∞
m=1
◦
û
P m (ε). On montre que C =
+∞
n=1
G(1/n) est l’ensemble des
points de continuité de f . On prouve d’abord que x 0 ∈ C si f est continue
en x 0 . Puisque f (x) = lim
n→+∞
f n (x), il existe m tel que
|f (x 0 ) − f m (x 0 )|
ε
3
.
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