Chapitre I. Limites et continuité
avec K = {n : x ∈ F n } et on pose
f (x) = g(x)
χ Q (x) −
1
2
.
On prouve d’abord que tout point de A est un point de discontinuité de f . En
effet, si x ∈
◦
A, tout voisinage de x contient alors un point où le signe de f est
différent de celui de f (x). Si x ∈ ∂A ∩ A, alors f (x) = 0 et tout voisinage de x
contient un point où f s’annule. Puisque A =
◦
A ∪ (∂A ∩ A), la fonction f est
discontinue sur A. Notre but est maintenant de montrer que la fonction f est
continue sur R \ A. On a f (x) = 0 si x /
∈ A. Si une suite {x k } converge vers x
et x k ∈ A, pour tout n, il existe alors un k n tel que x k /
∈ F n pour k k n (s’il
y a une infinité de x k dans un F n , alors x appartient aussi à F n ). Donc, pour
k k n , on a
g(x k )
1
2 n+1 +
1
2 n+2 + . . . =
1
2 n ,
ce qui signifie que lim
k→+∞
g(x k ) = 0 = g(x).
I.7.17. Non. Toute fonction définie sur un espace métrique discret est
continue.
I.7.18. On suppose d’abord que x ∈ ∂A = A ∩ X \ A. Puisque chaque boule
B(x, δ) contient des points de A et des points de X\A, on obtient o χ A (x) = 1.
On suppose maintenant que o χ A (x) > 0. Ceci signifie que pour tout δ > 0,
sup {|χ A (x) − χ A (y)| : y ∈ B(x, δ)} = o χ A (x, δ) > 0.
Donc, toute boule B(x, δ) doit contenir des points de A et des points de X \ A
et x ∈ ∂A = A ∩ X \ A.
Clairement, si A est ouvert et fermé, alors ∂A = ∅. Donc, d’après I.7.12,
χ A est continue sur X. Réciproquement, si χ A est continue sur X, alors
∂A = ∅. On montre maintenant que A ⊂ A. Si ce n’est pas le cas, il existe
alors x ∈ A \ A ⊂ X \ A ⊂ X \ A, contradiction. On montre de la même
manière que X \ A est aussi fermé.
I.7.19. Pour x ∈ A et δ > 0, on a
o f (x, δ) = sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ B(x, δ)}
sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ A ∩ B(x, δ)}
+ sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ (X \ A) ∩ B(x, δ)} .
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avec K = {n : x ∈ F n } et on pose
f (x) = g(x)
χ Q (x) −
1
2
.
On prouve d’abord que tout point de A est un point de discontinuité de f . En
effet, si x ∈
◦
A, tout voisinage de x contient alors un point où le signe de f est
différent de celui de f (x). Si x ∈ ∂A ∩ A, alors f (x) = 0 et tout voisinage de x
contient un point où f s’annule. Puisque A =
◦
A ∪ (∂A ∩ A), la fonction f est
discontinue sur A. Notre but est maintenant de montrer que la fonction f est
continue sur R \ A. On a f (x) = 0 si x /
∈ A. Si une suite {x k } converge vers x
et x k ∈ A, pour tout n, il existe alors un k n tel que x k /
∈ F n pour k k n (s’il
y a une infinité de x k dans un F n , alors x appartient aussi à F n ). Donc, pour
k k n , on a
g(x k )
1
2 n+1 +
1
2 n+2 + . . . =
1
2 n ,
ce qui signifie que lim
k→+∞
g(x k ) = 0 = g(x).
I.7.17. Non. Toute fonction définie sur un espace métrique discret est
continue.
I.7.18. On suppose d’abord que x ∈ ∂A = A ∩ X \ A. Puisque chaque boule
B(x, δ) contient des points de A et des points de X\A, on obtient o χ A (x) = 1.
On suppose maintenant que o χ A (x) > 0. Ceci signifie que pour tout δ > 0,
sup {|χ A (x) − χ A (y)| : y ∈ B(x, δ)} = o χ A (x, δ) > 0.
Donc, toute boule B(x, δ) doit contenir des points de A et des points de X \ A
et x ∈ ∂A = A ∩ X \ A.
Clairement, si A est ouvert et fermé, alors ∂A = ∅. Donc, d’après I.7.12,
χ A est continue sur X. Réciproquement, si χ A est continue sur X, alors
∂A = ∅. On montre maintenant que A ⊂ A. Si ce n’est pas le cas, il existe
alors x ∈ A \ A ⊂ X \ A ⊂ X \ A, contradiction. On montre de la même
manière que X \ A est aussi fermé.
I.7.19. Pour x ∈ A et δ > 0, on a
o f (x, δ) = sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ B(x, δ)}
sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ A ∩ B(x, δ)}
+ sup {d 2 (f (x), f(y)) : y ∈ (X \ A) ∩ B(x, δ)} .
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