Solutions
I.7.13. On pose B =
x ∈ A : o f (x) ε
. Soit {x n } une suite de points de
B convergente vers x 0 . Puisque B ⊂ A, x 0 ∈ A et o f (x 0 ) est bien défini. De
plus, pour tout δ > 0, il existe n ∈ N ∗ tel que B(x n , δ/2) ⊂ B(x 0 , δ). D’où,
diam(f (A ∩ B(x 0 , δ))) diam(f (A ∩ B(x n , δ/2))) o f (x n ) ε.
Il s’ensuit que o f (x 0 ) ε ou, dit autrement, x 0 ∈ B.
I.7.14. D’après le résultat de I.7.12, l’ensemble C des points de continuité
de f est égal à l’ensemble sur lequel l’oscillation s’annule. On pose
B n =
x ∈ X : o f (x) <
1
n
.
On déduit du problème précédent que les B n sont ouverts dans X. D’autre
part,
C =
+∞
n=1
B n ,
autrement dit, l’ensemble des points de continuité de f est du type G δ . Il s’ensuit que l’ensemble X \ C des points de discontinuité de f est du type F σ
dans X.
I.7.15. Considérez la fonction définie par (comparez avec I.2.3(a))
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0 si x est irrationnel,
1 si x = 0,
1
q
si x =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q premiers entre eux.
I.7.16. [S.S. Kim, Amer. Math. Monthly 106 (1999), 258-259]. Soit A un sousensemble de R de type F σ , autrement dit,
A =
+∞
n=1
F n ,
où les F n sont fermés. On peut supposer, sans perte de généralité, que
F n ⊂ F n+1 pour tout n ∈ N ∗ . En effet, il suffit de remplacer F n par
F 1 ∪ F 2 ∪ . . . ∪ F n . Si A = R, alors par exemple, f (x) = χ Q (x) est discontinue
en tout x ∈ R. Si A = R, on définit alors la fonction g par
g(x) =
⎧
⎨
⎩
n∈K
1
2 n
si x ∈ A,
0
si x ∈ R \ A
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