Chapitre I. Limites et continuité
On pose δ =
1
2 min {δ(x 1 ), δ(x 2 ), . . . , δ(x n )} et on prend x et y dans X de sorte
que d 1 (x, y) < δ. Puisque la famille (2) est un recouvrement de X, il existe un
indice i ∈ {1, 2, . . . , n} tel que d 1 (x, x i ) <
1
2 δ(x i ). On a alors
d 1 (y, x i ) < d 1 (x, y) + d 1 (x, x i ) < δ +
1
2
δ(x i ) δ(x i ).
En conséquence, d’après (1),
d 2 (f (x), f(y)) d 2 (f (x), f(x i )) + d 2 (f (x i ), f(y)) < ε.
I.7.10. Pour x 0 , x ∈ X et y ∈ A, on a
dist(x, A) d(x, y) d(x, x 0 ) + d(x 0 , y).
Donc, dist(x, A) d(x, x 0 ) + dist(x 0 , A). D’où,
dist(x, A) − dist(x 0 , A) d(x, x 0 ).
De même, dist(x 0 , A) − dist(x, A) d(x, x 0 ) et, en conséquence,
|dist(x, A) − dist(x 0 , A)| d(x, x 0 ),
ce qui implique que f est uniformément continue sur X.
I.7.11. Si l’ensemble f (X) n’est pas connexe, il existe alors des ensembles G 1
et G 2 non vides, ouverts et disjoints tels que G 1 ∪ G 2 = f (X). La continuité
de f implique que les ensembles f −1 (G i ), i = 1, 2, sont ouverts. Clairement,
ils sont non vides et disjoints et leur union est X, contradiction.
I.7.12. Soit d 1 et d 2 les distances respectives sur X et Y. On suppose que
f est continue en x 0 ∈ A. Étant donné ε > 0, on peut trouver δ > 0 tel que
f (x) ∈ B(f (x 0 ), ε/2) dès que x ∈ B(x 0 , δ) ∩ A. Donc, d 2 (f (x), f(y)) < ε pour
x, y ∈ B(x 0 , δ) ∩ A. Il s’ensuit que o f (x 0 ) = 0. Réciproquement, si o f (x 0 ) = 0,
étant donné ε > 0, il existe alors δ ε > 0 tel que
0 < δ < δ ε implique diam(f (A ∩ B(x 0 , δ))) < ε.
Donc, d 1 (x, x 0 ) < δ implique
d 2 (f (x), f(x 0 )) diam(f (A ∩ B(x 0 , δ))) < ε.
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