Solutions
Pour voir que la proposition est fausse dans le cas d’une infinité d’ensembles, on considère les ensembles F i définis comme suit : F 0 = {0}, F i = {
1
i },
i ∈ N ∗ . La fonction donnée par
f (x) =
1 pour x ∈ F i (i ∈ N ∗ ),
0 pour x ∈ F 0
est continue sur chaque F i (i ∈ N) mais n’est pas continue sur l’ensemble
+∞
i=0
F i .
I.7.6. Soit x 0 ∈
t∈T
G t . Il existe t 0 ∈ T tel que x 0 ∈ G t 0 . Puisque G t 0
est ouvert et que la restriction de f à G t 0 est continue, étant donné ε > 0,
il existe δ > 0 tel que f (x) = f |Gt 0 (x) ∈ B
f |Gt 0 (x 0 ), ε
= B (f (x 0 ), ε) si
x ∈ B(x 0 , δ) ⊂ G t 0 , ce qui signifie que f est continue en x 0 .
I.7.7. On suppose que f |A est continue pour tout compact A ⊂ X. Si une
suite {x n } d’éléments de X converge vers x, l’ensemble A = {x, x 1 , x 2 , . . . }
est alors compact dans X. D’où,
lim f (x n ) = lim f |A (x n ) = f |A (x) = f (x).
La fonction f est donc continue sur X. L’autre implication est évidente.
I.7.8. La continuité de f −1 est équivalente à la condition que f (G) est ouvert
dans Y pour tout ouvert G de X. Si G est ouvert dans X, alors G c = X \ G
est compact comme sous-ensemble fermé de l’espace compact X. D’après le résultat de I.7.4, f (G c ) = Y \ f (G) est aussi compact, donc fermé. Ceci signifie
que f (G) est ouvert.
Pour montrer que la compacité est essentielle, on considère la fonction
f : ]0 , 1[ ∪ {2} −→ ]0 , 1] définie par f (x) = x pour x ∈ ]0 , 1[ et f (2) = 1.
Clairement, f est une bijection continue de ]0 , 1[ ∪ {2} sur ]0 , 1]. Puisque
f −1 (x) = x pour x ∈ ]0 , 1[ et f −1 (1) = 2, la fonction réciproque n’est pas
continue sur ]0 , 1].
I.7.9. Soit d 1 et d 2 les distances respectives sur X et Y. Par continuité de f ,
étant donné ε > 0 et x ∈ X, il existe δ(x) > 0 tel que
d 1 (x, y) < δ(x) implique d 2 (f (x), f(y)) <
ε
2
.
(1)
Puisque la famille des boules
B
x,
1
2 δ(x)
: x ∈ X
est un recouvrement ouvert de l’espace compact X, il existe un sous-recouvrement
B
x i ,
1
2
δ(x i )
: i = 1, 2, . . . , n
.
(2)
119
Pour voir que la proposition est fausse dans le cas d’une infinité d’ensembles, on considère les ensembles F i définis comme suit : F 0 = {0}, F i = {
1
i },
i ∈ N ∗ . La fonction donnée par
f (x) =
1 pour x ∈ F i (i ∈ N ∗ ),
0 pour x ∈ F 0
est continue sur chaque F i (i ∈ N) mais n’est pas continue sur l’ensemble
+∞
i=0
F i .
I.7.6. Soit x 0 ∈
t∈T
G t . Il existe t 0 ∈ T tel que x 0 ∈ G t 0 . Puisque G t 0
est ouvert et que la restriction de f à G t 0 est continue, étant donné ε > 0,
il existe δ > 0 tel que f (x) = f |Gt 0 (x) ∈ B
f |Gt 0 (x 0 ), ε
= B (f (x 0 ), ε) si
x ∈ B(x 0 , δ) ⊂ G t 0 , ce qui signifie que f est continue en x 0 .
I.7.7. On suppose que f |A est continue pour tout compact A ⊂ X. Si une
suite {x n } d’éléments de X converge vers x, l’ensemble A = {x, x 1 , x 2 , . . . }
est alors compact dans X. D’où,
lim f (x n ) = lim f |A (x n ) = f |A (x) = f (x).
La fonction f est donc continue sur X. L’autre implication est évidente.
I.7.8. La continuité de f −1 est équivalente à la condition que f (G) est ouvert
dans Y pour tout ouvert G de X. Si G est ouvert dans X, alors G c = X \ G
est compact comme sous-ensemble fermé de l’espace compact X. D’après le résultat de I.7.4, f (G c ) = Y \ f (G) est aussi compact, donc fermé. Ceci signifie
que f (G) est ouvert.
Pour montrer que la compacité est essentielle, on considère la fonction
f : ]0 , 1[ ∪ {2} −→ ]0 , 1] définie par f (x) = x pour x ∈ ]0 , 1[ et f (2) = 1.
Clairement, f est une bijection continue de ]0 , 1[ ∪ {2} sur ]0 , 1]. Puisque
f −1 (x) = x pour x ∈ ]0 , 1[ et f −1 (1) = 2, la fonction réciproque n’est pas
continue sur ]0 , 1].
I.7.9. Soit d 1 et d 2 les distances respectives sur X et Y. Par continuité de f ,
étant donné ε > 0 et x ∈ X, il existe δ(x) > 0 tel que
d 1 (x, y) < δ(x) implique d 2 (f (x), f(y)) <
ε
2
.
(1)
Puisque la famille des boules
B
x,
1
2 δ(x)
: x ∈ X
est un recouvrement ouvert de l’espace compact X, il existe un sous-recouvrement
B
x i ,
1
2
δ(x i )
: i = 1, 2, . . . , n
.
(2)
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