Chapitre I. Limites et continuité
Pour conclure la démonstration, on montre que (e) =⇒ (b). Si F est fermé,
alors F = F. D’après (e),
f −1 (F) ⊂ f
−1 (F),
ce qui signifie que f −1 (F) est fermé.
I.7.2. Soit B(X) la famille des sous-ensembles boréliens de X, c’est-à-dire la
plus petite σ-algèbre (4) des sous-ensembles de X contenant tous les ensembles
ouverts. On note e
B la famille des ensembles B ⊂ Y tels que f −1 (B) ∈ B(X).
e
B est une σ-algèbre de sous-ensembles de Y. Puisque f est continue, le problème précédent implique que l’image réciproque de tout ensemble ouvert est
un ensemble ouvert. e
B contient donc tous les sous-ensembles ouverts de Y,
d’où B(Y) ⊂ e
B. Ceci implique f −1 (B) ∈ B(X) si B ∈ B(Y).
I.7.3. On considère X = Y = R muni de sa distance usuelle d(x, y) = |x − y|.
On définit f (x) = sin πx et F =
n +
1
n : n 2
. F est fermé dans l’espace
métrique X car il ne contient que des points isolés. D’autre part,
f (F) =
sin
π
2
, − sin
π
3
, sin
π
4
, . . .
n’est pas fermé car il ne contient pas 0 qui est son point d’accumulation.
On considère de nouveau X et Y définis comme précédemment et on définit
f (x) = x (x − 2)
2 et G = ]1 , 3[. On a alors f (G) = [0 , 3[.
I.7.4. Si y n ∈ f (F), alors y n = f (x n ), où x n ∈ F, n ∈ N ∗ . Si F est compact
dans X, il existe alors une sous-suite {x n k } de {x n } convergente vers x ∈ F.
Par continuité de f , {y n k } définie par y n k = f (x n k ) est une sous-suite de {y n }
convergente vers f (x) ∈ f (F). La compacité de f (F) est donc prouvée.
I.7.5. Soit {x n } une suite d’éléments de F 1 ∪ . . . ∪ F m convergente vers x.
Il existe au moins un ensemble F i contenant une sous-suite {x n k }. La suite
{x n } peut se décomposer en un nombre fini de sous-suites de sorte que chaque
sous-suite soit contenue dans un ensemble F i . Puisque F i est fermé et que f est
continue sur F i , lim f (x n k ) = lim f |F i (x n k ) = f |F i (x) = f (x). Il s’ensuit que
{f (x n )} se décompose en un nombre fini de sous-suites convergentes vers f (x),
ce qui signifie que {f (x n )} converge vers f (x).
(4) Une collection non vide de sous-ensembles d’un ensemble est une σ-algèbre si elle contient
le complémentaire de chacun de ses éléments et si elle contient toute union dénombrable de
certains de ses éléments. (N.d.T.)
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Pour conclure la démonstration, on montre que (e) =⇒ (b). Si F est fermé,
alors F = F. D’après (e),
f −1 (F) ⊂ f
−1 (F),
ce qui signifie que f −1 (F) est fermé.
I.7.2. Soit B(X) la famille des sous-ensembles boréliens de X, c’est-à-dire la
plus petite σ-algèbre (4) des sous-ensembles de X contenant tous les ensembles
ouverts. On note e
B la famille des ensembles B ⊂ Y tels que f −1 (B) ∈ B(X).
e
B est une σ-algèbre de sous-ensembles de Y. Puisque f est continue, le problème précédent implique que l’image réciproque de tout ensemble ouvert est
un ensemble ouvert. e
B contient donc tous les sous-ensembles ouverts de Y,
d’où B(Y) ⊂ e
B. Ceci implique f −1 (B) ∈ B(X) si B ∈ B(Y).
I.7.3. On considère X = Y = R muni de sa distance usuelle d(x, y) = |x − y|.
On définit f (x) = sin πx et F =
n +
1
n : n 2
. F est fermé dans l’espace
métrique X car il ne contient que des points isolés. D’autre part,
f (F) =
sin
π
2
, − sin
π
3
, sin
π
4
, . . .
n’est pas fermé car il ne contient pas 0 qui est son point d’accumulation.
On considère de nouveau X et Y définis comme précédemment et on définit
f (x) = x (x − 2)
2 et G = ]1 , 3[. On a alors f (G) = [0 , 3[.
I.7.4. Si y n ∈ f (F), alors y n = f (x n ), où x n ∈ F, n ∈ N ∗ . Si F est compact
dans X, il existe alors une sous-suite {x n k } de {x n } convergente vers x ∈ F.
Par continuité de f , {y n k } définie par y n k = f (x n k ) est une sous-suite de {y n }
convergente vers f (x) ∈ f (F). La compacité de f (F) est donc prouvée.
I.7.5. Soit {x n } une suite d’éléments de F 1 ∪ . . . ∪ F m convergente vers x.
Il existe au moins un ensemble F i contenant une sous-suite {x n k }. La suite
{x n } peut se décomposer en un nombre fini de sous-suites de sorte que chaque
sous-suite soit contenue dans un ensemble F i . Puisque F i est fermé et que f est
continue sur F i , lim f (x n k ) = lim f |F i (x n k ) = f |F i (x) = f (x). Il s’ensuit que
{f (x n )} se décompose en un nombre fini de sous-suites convergentes vers f (x),
ce qui signifie que {f (x n )} converge vers f (x).
(4) Une collection non vide de sous-ensembles d’un ensemble est une σ-algèbre si elle contient
le complémentaire de chacun de ses éléments et si elle contient toute union dénombrable de
certains de ses éléments. (N.d.T.)
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