Solutions
De plus, w 1 (0) = 0 car 0 = 0 × 1 et 1 ∈ H. Donc,
0 = w 1 (0) = w 1
p
q
+
−
p
q
= w 1
p
q
+ w 1
−
p
q
ou, dit autrement,
w 1
−
p
q
= −
p
q
.
On a donc prouvé que w 1 (x) = x pour tout x ∈ Q. Finalement, on montre que
w 1 n’est pas continue. Si elle l’était, on aurait w 1 (x) = x pour tout x ∈ R, ce
qui contredirait le fait que w 1 ne prend que des valeurs rationnelles.
I.7. Fonctions continues sur un espace métrique
I.7.1. On montre d’abord que (a) =⇒ (b). Soit F un sous-ensemble fermé
de Y. Si une suite {x n } d’éléments de f −1 (F) converge vers x, alors f (x n ) ∈ F
et, par continuité de f , f (x n ) tend vers f (x). Puisque F est fermé, f (x) ∈ F
ou, dit autrement, x ∈ f −1 (F). On a donc prouvé que f −1 (F) est fermé.
Pour prouver que (b) =⇒ (c), il suffit de noter que tout sous-ensemble
ouvert G de Y est le complémentaire d’un sous-ensemble fermé F, autrement
dit, G = Y \ F. On a alors f −1 (G) = X \ f −1 (F).
On prouve maintenant que (c) =⇒ (a). Soit x 0 ∈ X et ε > 0. Par hypothèse,
l’ensemble f −1 (B Y (f (x 0 ), ε)) est ouvert dans X. Puisque x 0 est un élément de
f −1 (B Y (f (x 0 ), ε)), il existe δ > 0 tel que B X (x 0 , δ) ⊂ f −1 (B Y (f (x 0 ), ε)). On
a donc f (B X (x 0 , δ)) ⊂ B Y (f (x 0 ), ε), ce qui signifie que f est continue en x 0 .
On a donc prouvé que les trois premières conditions sont équivalentes.
On prouve maintenant que (a) =⇒ (d). Pour cela, on considère y 0 ∈ f
A
.
Par définition de l’image d’un ensemble par f , il existe x 0 ∈ A tel que
f (x 0 ) = y 0 . Par continuité de f en x 0 , étant donné ε > 0, il existe une boule
B X (x 0 , δ) telle que
f (B X (x 0 , δ)) ⊂ B Y (y 0 , ε).
Puisque x 0 ∈ A, on voit que B X (x 0 , δ) ∩ A = ∅. Donc,
∅ = f (B X (x 0 , δ) ∩ A) ⊂ B Y (y 0 , ε) ∩ f (A),
ce qui signifie que y 0 ∈ f (A).
Pour montrer que (d) =⇒ (e), on pose A = f −1 (B). On a alors
f
f −1 (B)
⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B.
Donc, f −1 (B) ⊂ f −1
B
.
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De plus, w 1 (0) = 0 car 0 = 0 × 1 et 1 ∈ H. Donc,
0 = w 1 (0) = w 1
p
q
+
−
p
q
= w 1
p
q
+ w 1
−
p
q
ou, dit autrement,
w 1
−
p
q
= −
p
q
.
On a donc prouvé que w 1 (x) = x pour tout x ∈ Q. Finalement, on montre que
w 1 n’est pas continue. Si elle l’était, on aurait w 1 (x) = x pour tout x ∈ R, ce
qui contredirait le fait que w 1 ne prend que des valeurs rationnelles.
I.7. Fonctions continues sur un espace métrique
I.7.1. On montre d’abord que (a) =⇒ (b). Soit F un sous-ensemble fermé
de Y. Si une suite {x n } d’éléments de f −1 (F) converge vers x, alors f (x n ) ∈ F
et, par continuité de f , f (x n ) tend vers f (x). Puisque F est fermé, f (x) ∈ F
ou, dit autrement, x ∈ f −1 (F). On a donc prouvé que f −1 (F) est fermé.
Pour prouver que (b) =⇒ (c), il suffit de noter que tout sous-ensemble
ouvert G de Y est le complémentaire d’un sous-ensemble fermé F, autrement
dit, G = Y \ F. On a alors f −1 (G) = X \ f −1 (F).
On prouve maintenant que (c) =⇒ (a). Soit x 0 ∈ X et ε > 0. Par hypothèse,
l’ensemble f −1 (B Y (f (x 0 ), ε)) est ouvert dans X. Puisque x 0 est un élément de
f −1 (B Y (f (x 0 ), ε)), il existe δ > 0 tel que B X (x 0 , δ) ⊂ f −1 (B Y (f (x 0 ), ε)). On
a donc f (B X (x 0 , δ)) ⊂ B Y (f (x 0 ), ε), ce qui signifie que f est continue en x 0 .
On a donc prouvé que les trois premières conditions sont équivalentes.
On prouve maintenant que (a) =⇒ (d). Pour cela, on considère y 0 ∈ f
A
.
Par définition de l’image d’un ensemble par f , il existe x 0 ∈ A tel que
f (x 0 ) = y 0 . Par continuité de f en x 0 , étant donné ε > 0, il existe une boule
B X (x 0 , δ) telle que
f (B X (x 0 , δ)) ⊂ B Y (y 0 , ε).
Puisque x 0 ∈ A, on voit que B X (x 0 , δ) ∩ A = ∅. Donc,
∅ = f (B X (x 0 , δ) ∩ A) ⊂ B Y (y 0 , ε) ∩ f (A),
ce qui signifie que y 0 ∈ f (A).
Pour montrer que (d) =⇒ (e), on pose A = f −1 (B). On a alors
f
f −1 (B)
⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B.
Donc, f −1 (B) ⊂ f −1
B
.
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