Chapitre I. Limites et continuité
En remplaçant 2x par x et en utilisant le fait que A(s) = 2A
s
2
, on a
f (x) = g(0) + 2Bx +
1
2
xA(x), g(x) = f (0) + 2Bx +
1
2
xA(x).
En substituant ces relations dans (1) et en appliquant (3), on arrive à
g(0) − f (0) + 2By + xA(y) + yA(x)
2y
= ϕ(x)
et en prenant x = 1, on trouve
A(y) = dy + f (0) − g(0), où d = 2ϕ(1) − A(1) − 2B.
Puisque A(0) = 0, on a f (0) = g(0), d’où A(x) = dx et
f (x) = g(x) = f (0) + Bx +
1
2
dx
2 .
On vérifie que f (x) = g(x) = ax 2 + bx + c et ϕ(x) = f (x) = 2ax + b
vérifient l’équation fonctionnelle donnée.
I.6.31. L’ensemble R peut être vu comme un espace vectoriel sur Q. Une
base de Hamel de R sur Q est une famille libre maximale. Il existe une base
de Hamel H contenant 1. Tout x ∈ R peut donc s’écrire de façon unique sous
la forme
x =
h∈H
w h (x)h,
où seul un nombre fini de coefficients w h (x) ∈ Q sont non nuls. Donc, pour
x, y ∈ R,
x + y =
h∈H
w h (x + y)h =
h∈H
(w h (x) + w h (y))h,
ce qui implique w h (x + y) = w h (x) + w h (y). En particulier, f = w 1 vérifie (a).
On montre qu’elle vérifie aussi les autres conditions.
On note que w 1 (1) = 1 car 1 = 1 × 1 et 1 ∈ H. On montre maintenant que
w 1 (x) = x pour x ∈ Q. Par additivité de w 1 , on a
1 = w 1 (1) = w 1
1
q
+
1
q
+ . . . +
1
q
= qw 1
1
q
.
Donc,
w 1
1
q
=
1
q
.
Il s’ensuit, par additivité encore, que
w 1
p
q
=
p
q
pour p, q ∈ N
∗ .
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