Solutions
En conséquence, pour u, v ∈ R, on a
ϕ(u + v) + ϕ(u − v) =
1
2y
(f (u + v + y) − g(u + v − y)
+ f (u − v + y) − g(u − v − y))
=
1
2y
(f (u + v + y) − g(u − v − y))
+
1
2y
(f (u − (v − y)) − g(u + (v − y))) .
Donc,
ϕ(u + v) + ϕ(u − v) =
1
2y
(2(v + y)ϕ(u) − 2(v − y)ϕ(u)) = 2ϕ(u).
Si on pose s = u + v et t = u − v, ceci peut se réécrire sous la forme
ϕ(s) + ϕ(t)
2
= ϕ
s + t
2
, s,t ∈ R.
On note A : R −→ R la fonction définie par A(s) = ϕ(s) − ϕ(0). On a alors
A(0) = 0 et
A(s) + A(t) = ϕ(s) + ϕ(t) − 2ϕ(0)
= 2ϕ
s + t
2
− 2ϕ(0)
(2)
= 2A
s + t
2
.
Prendre t = 0 donne A(s) = 2A
s
2
. En remplaçant ensuite s par s + t, on
obtient
A(s + t) = 2A
s + t
2
.
Ceci et (2) impliquent
A(s + t) = A(s) + A(t).
(3)
L’équation (1) peut donc se réécrire sous la forme
f (x + y) − g(x − y)
2y
= B + A(x),
(4)
où B = ϕ(0) et x → A(x) est une fonction vérifiant (3). Si on prend dans (4)
y = x et y = −x, on obtient alors respectivement
f (2x) = g(0) + 2Bx + 2xA(x) et g(2x) = f (0) + 2Bx + 2xA(x).
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