Chapitre I. Limites et continuité
I.6.29. On remarque que si f vérifie l’équation fonctionnelle donnée et si on
pose
g(x) =
1
2
f (x) + f
1
x
, h(x) =
1
2
f (x) − f
1
x
,
les fonctions g et h ont les propriétés suivantes :
g(x) = g
1
x
(i)
et
h(x) = −h
1
x
, h(x) + h
x
2
= 0, h(−x) = h(x).
(ii)
On note maintenant que si g et h vérifient (i) et (ii), alors f = g + h vérifie
l’équation fonctionnelle donnée. Notre but est donc de trouver les fonctions g
et h. Comme dans la solution du problème précédent, on peut montrer que
toute fonction vérifiant (i) est de la forme
g(x) = k(x) + k
1
x
,
où k est une fonction définie sur R ∗ . Pour trouver les fonctions h, on observe
d’abord que (ii) implique h(1) = 0. Puis, pour x > 1, on pose h(x) = s(ln ln x)
et s vérifie l’équation fonctionnelle
s(ln ln x) + s(ln(2 ln x)) = 0
que l’on peut réécrire sous la forme
s(t) + s(ln 2 + t) = 0 pour t ∈ R.
Ceci signifie que l’on peut choisir toute fonction s telle que s(t) = −s(ln 2 + t)
(notez que s est périodique de période 2 ln 2). Il existe une infinité de telles
fonctions, par exemple, s(t) = cos
πt
ln 2 . On prolonge ensuite la fonction h sur
]0 , 1[ en posant h(x) = −h
1
x
, puis sur R ∗
− en posant h(−x) = h(x).
I.6.30. [S. Haruki, Amer. Math. Monthly 86 (1979), 577-578]. Si on remplace dans
l’équation donnée x par x + y et y par x − y, on obtient
f (x + y) − g(x − y)
2y
= ϕ(x).
(1)
Si on remplace maintenant y par −y dans (1), on a
f (x − y) − g(x + y)
−2y
= ϕ(x).
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