Solutions
De ce qui précède, on déduit que b = 0 ou b = 1 ou b = −1 si m est impair. Les
seules valeurs possibles de a sont donc −2, −1, 0, 1 ou 2. On vérifie facilement
que
f (x) = 0, f(x) = 1, f(x) = x
et, si m est impair,
f (x) = −1, f(x) = −x
sont les seules solutions.
I.6.27. Si f vérifie la condition donnée, on a alors
f (a + b) = f
ab
−1 z + z
z
−1 b
= f
ab
−1 z + z
f
z
−1 b
=
f
ab
−1 z
+ f (z)
f
z
−1 b
= f (a) + f (b)
pour tous réels a et b, b = 0. Donc, f (0) = 0 et f (−x) = −f (x). De plus,
f (n) = nf (1) pour tout entier n. Si f n’est pas identiquement nulle, il existe
alors c tel que f (c) = 0. Mais f (c) = f (1)f (c) et f (1) = 1. Si x = 0, alors
1 = f (x)f
x −1
et 0 = f (x) =
f
x −1 −1 . Il s’ensuit que, pour des entiers
p et q = 0,
f
pq
−1
= f (p)f
q
−1
= f (p)(f (q))
−1 = pq
−1 .
On note que l’on a f (x) = (f (
√ x))
2 > 0 pour x > 0. Donc, si y − x > 0, alors
f (y − x) = f (y) − f (x) > 0, ce qui signifie que f est strictement croissante et
f (x) = x pour x ∈ Q. Il s’ensuit que f (x) = x pour tout x ∈ R (d’après I.6.2).
I.6.28. Une fonction f de la forme
f (x) = g(x) − g
1
x
,
(∗)
où g est une fonction réelle définie sur R ∗ , vérifie l’équation fonctionnelle donnée. D’autre part, si f vérifie l’équation donnée, alors
f (x) =
f (x) − f
1
x
2
,
ce qui signifie que f est de la forme (∗).
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