Chapitre I. Limites et continuité
En égalant les termes de même degré, on conclut que Q(x) = ax k , a = 0 et finalement que a = 1. En conséquence, P (x) = (1 − x)
k avec k ∈ N. Clairement,
la fonction identiquement nulle vérifie aussi l’équation.
I.6.26. [S. Kotz, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 1072-1075]. Pour alléger les
notations, on écrit f m (x i ) à la place de (f (x i ))
m . Si dans l’équation
f
1
n
n
i=1
x
m
i
=
1
n
n
i=1
f
m (x i )
(1)
on prend x i = c pour i = 1, 2, . . . , n, on obtient
f (c
m ) = f
m (c).
(2)
En particulier, f (1) = f m (1), ce qui implique f (1) = 0 ou f (1) = 1 ou
f (1) = −1 dans le cas où m est impair. De même, f (0) = 0 ou f (0) = 1,
f (0) = −1 si m est impair. En prenant dans (2) c = x
1
m , x 0, on obtient
f
x
1
m
= f
1
m (x).
En remplaçant x par x
1
m
i dans (1) et en utilisant la dernière égalité, on a
f
1
n
n
i=1
x i
=
1
n
n
i=1
f
m
x
1
m
i
=
1
n
n
i=1
f (x i ).
(3)
En particulier, pour x 3 = x 4 = . . . = x n = 0,
f
x 1 + x 2
n
=
1
n
f (x 1 ) +
1
n
f (x 2 ) +
n − 2
n
f (0).
Si dans (1) on prend x 2 = x 3 = . . . = x n = 0 et si on remplace x 1 par x 1 + x 2 ,
on obtient
f
x 1 + x 2
n
=
1
n
f (x 1 + x 2 ) +
n − 1
n
f (0).
D’où,
f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) − f (0).
La fonction g(x) = f (x) − f (0) vérifie donc l’équation fonctionnelle de Cauchy
et est continue en au moins un point. D’après le résultat de I.6.2, g(x) = ax
pour x 0. Donc,
f (x) = ax + b, où a = f (1) − f (0), b = f (0).
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En égalant les termes de même degré, on conclut que Q(x) = ax k , a = 0 et finalement que a = 1. En conséquence, P (x) = (1 − x)
k avec k ∈ N. Clairement,
la fonction identiquement nulle vérifie aussi l’équation.
I.6.26. [S. Kotz, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 1072-1075]. Pour alléger les
notations, on écrit f m (x i ) à la place de (f (x i ))
m . Si dans l’équation
f
1
n
n
i=1
x
m
i
=
1
n
n
i=1
f
m (x i )
(1)
on prend x i = c pour i = 1, 2, . . . , n, on obtient
f (c
m ) = f
m (c).
(2)
En particulier, f (1) = f m (1), ce qui implique f (1) = 0 ou f (1) = 1 ou
f (1) = −1 dans le cas où m est impair. De même, f (0) = 0 ou f (0) = 1,
f (0) = −1 si m est impair. En prenant dans (2) c = x
1
m , x 0, on obtient
f
x
1
m
= f
1
m (x).
En remplaçant x par x
1
m
i dans (1) et en utilisant la dernière égalité, on a
f
1
n
n
i=1
x i
=
1
n
n
i=1
f
m
x
1
m
i
=
1
n
n
i=1
f (x i ).
(3)
En particulier, pour x 3 = x 4 = . . . = x n = 0,
f
x 1 + x 2
n
=
1
n
f (x 1 ) +
1
n
f (x 2 ) +
n − 2
n
f (0).
Si dans (1) on prend x 2 = x 3 = . . . = x n = 0 et si on remplace x 1 par x 1 + x 2 ,
on obtient
f
x 1 + x 2
n
=
1
n
f (x 1 + x 2 ) +
n − 1
n
f (0).
D’où,
f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) − f (0).
La fonction g(x) = f (x) − f (0) vérifie donc l’équation fonctionnelle de Cauchy
et est continue en au moins un point. D’après le résultat de I.6.2, g(x) = ax
pour x 0. Donc,
f (x) = ax + b, où a = f (1) − f (0), b = f (0).
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