Notations et terminologie
• B X (x, r), B X (x, r) représentent respectivement la boule ouverte et la boule
fermée de centre x et de rayon r. Si X est fixé, on omet l’indice et on écrit
simplement B(x, r), B(x, r),
•
◦
A est l’intérieur de A dans l’espace métrique (X, d),
• A est l’adhérence de A dans l’espace métrique,
• ∂A = A ∩ X \ A est la frontière de A,
• diam(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A} est le diamètre de l’ensemble A,
• dist(x, A) = inf {d(x, y) : y ∈ A} est la distance de x à l’ensemble A,
• A est un ensemble de type F σ si c’est une union dénombrable d’ensembles
fermés dans (X, d),
• A est un ensemble de type G δ si c’est une intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans (X, d),
• X est dit connexe s’il n’existe pas de sous-ensembles ouverts disjoints B et
C de X tels que X = B ∪ C.
•
χ A (x) =
1 si x ∈ A,
0 si x ∈ X \ A
est la fonction caractéristique de A.
Continuité, dérivabilité.
• C A est l’ensemble des fonctions continues sur A à valeurs dans R.
• C n
]a,b[ est l’ensemble des fonctions n fois continûment dérivables sur ]a, b[ à
valeurs dans R.
• C 1
[a,b] est l’ensemble des fonctions continûment dérivables sur [a, b] à valeurs
dans R, en considérant aux extrémités respectivement la dérivée à droite
et la dérivée à gauche. L’ensemble C n
[a,b] des fonctions n fois continûment
dérivables sur [a, b] à valeurs dans R est définie récursivement.
• C ∞
]a,b[ , C ∞
[a,b] est l’ensemble des fonctions infiniment dérivables respectivement
sur ]a , b[ et [a , b] à valeurs dans R.
xi