Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité
• Si A ⊂ R est non vide et majoré, alors sup A est le plus petit majorant de A.
Si l’ensemble non vide A n’est pas majoré, on pose alors sup A = +∞.
• Si A ⊂ R est non vide et minoré, alors inf A est le plus grand minorant
de A. Si l’ensemble non vide A n’est pas minoré, on pose alors inf A = −∞.
• Une suite {a n } est dite croissante (resp. décroissante) si a n+1 a n pour tout
n ∈ N (resp. a n+1 a n pour tout n ∈ N). La classe des suites monotones
est formée des suites croissantes et des suites décroissantes.
• Soit {a n } et {b n } deux suites réelles (b n = 0 pour tout n). Si le quotient
a n /b n tend vers 0 (resp. reste borné) lorsque n tend vers +∞, on écrit alors
a n = o(b n ) (resp., a n = O(b n )).
• Un réel c est une valeur d’adhérence de la suite {a n } s’il existe une sous-suite
{a n k } de {a n } convergente vers c.
• Soit S l’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de {a n }. La limite inférieure, lim
n→+∞
a n , et la limite supérieure, lim
n→+∞
a n , sont définies comme
suit :
lim
n→+∞
a n =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
+∞
si {a n } n’est pas majorée,
−∞
si {a n } est majorée et S = ∅,
sup S si {a n } est majorée et S = ∅,
lim
n→+∞
a n =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−∞ si {a n } n’est pas minorée,
+∞ si {a n } est minorée et S = ∅,
inf S si {a n } est minorée et S = ∅.
• Un produit infini
+∞
n=0
a n est dit convergent s’il existe un entier n 0 ∈ N tel que
a n = 0 pour n n 0 et la suite {a n 0 a n 0 +1 ·· · ··a n 0 +n } converge, lorsque n tend
vers +∞, vers une limite P 0 non nulle. Le nombre P = a 1 a 2 · · · · · a n 0 −1 · P 0
est appelée la valeur du produit infini.
• Si A ⊂ X et si f est une fonction définie sur X, f |A est la restriction de f
à A.
Si (X, d) est un espace métrique, x ∈ X et A un sous-ensemble non vide
de X, alors
• A c = X \ A est le complémentaire de A dans X,
x
• Si A ⊂ R est non vide et majoré, alors sup A est le plus petit majorant de A.
Si l’ensemble non vide A n’est pas majoré, on pose alors sup A = +∞.
• Si A ⊂ R est non vide et minoré, alors inf A est le plus grand minorant
de A. Si l’ensemble non vide A n’est pas minoré, on pose alors inf A = −∞.
• Une suite {a n } est dite croissante (resp. décroissante) si a n+1 a n pour tout
n ∈ N (resp. a n+1 a n pour tout n ∈ N). La classe des suites monotones
est formée des suites croissantes et des suites décroissantes.
• Soit {a n } et {b n } deux suites réelles (b n = 0 pour tout n). Si le quotient
a n /b n tend vers 0 (resp. reste borné) lorsque n tend vers +∞, on écrit alors
a n = o(b n ) (resp., a n = O(b n )).
• Un réel c est une valeur d’adhérence de la suite {a n } s’il existe une sous-suite
{a n k } de {a n } convergente vers c.
• Soit S l’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de {a n }. La limite inférieure, lim
n→+∞
a n , et la limite supérieure, lim
n→+∞
a n , sont définies comme
suit :
lim
n→+∞
a n =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
+∞
si {a n } n’est pas majorée,
−∞
si {a n } est majorée et S = ∅,
sup S si {a n } est majorée et S = ∅,
lim
n→+∞
a n =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−∞ si {a n } n’est pas minorée,
+∞ si {a n } est minorée et S = ∅,
inf S si {a n } est minorée et S = ∅.
• Un produit infini
+∞
n=0
a n est dit convergent s’il existe un entier n 0 ∈ N tel que
a n = 0 pour n n 0 et la suite {a n 0 a n 0 +1 ·· · ··a n 0 +n } converge, lorsque n tend
vers +∞, vers une limite P 0 non nulle. Le nombre P = a 1 a 2 · · · · · a n 0 −1 · P 0
est appelée la valeur du produit infini.
• Si A ⊂ X et si f est une fonction définie sur X, f |A est la restriction de f
à A.
Si (X, d) est un espace métrique, x ∈ X et A un sous-ensemble non vide
de X, alors
• A c = X \ A est le complémentaire de A dans X,
x