Solutions
En conséquence,
|f (x 1 ) − f (x 2 )| ε implique |x 1 − x 2 |
ε
N
.
Ceci signifie que (i) est vérifiée en prenant δ =
ε
N .
I.6. Équations fonctionnelles
I.6.1. Clairement, les fonctions f (x) = ax sont continues et vérifient l’équation fonctionnelle de Cauchy. On montre qu’il n’y a pas d’autres solutions
continues à cette équation. On observe d’abord que si f vérifie
f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ R,
(1)
alors f (2x) = 2f (x) pour tout x ∈ R. On montre par récurrence que
f (nx) = nf (x)
(2)
pour tout n ∈ N ∗ . Si on remplace x par
x
n dans (2), on obtient
f
x
n
=
1
n
f (x).
(3)
Si r =
p
q , où p, q ∈ N ∗ , alors (2) et (3) impliquent
f (rx) = f
p
q
x
= pf
1
q
x
=
p
q
f (x) = rx.
(4)
La relation (2) implique f (0) = 0. Combiné à (1), cela donne 0 = f (0) =
f (x) + f (−x) ou, dit autrement, f (−x) = −f (x). On obtient donc, avec (4),
−rf (x) = f (−rx) = −f (rx) pour tout rationnel négatif r. Puisque pour tout
réel α, il existe une suite {r n } de rationnels convergente vers α et puisque f
est continue, on a, d’après (4),
f (αx) = f
lim
n→+∞
r n x
= lim
n→+∞
f (r n x) = lim
n→+∞
r n f (x) = αf (x).
En prenant x = 1, on obtient f (α) = αf (1). Ainsi, f (x) = ax où a = f (1).
I.6.2.
(a) On montre que si f est continue en au moins un point et vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy, elle est alors continue sur R. La proposition
se déduit alors du problème précédent. Clairement si f vérifie l’équation
fonctionnelle de Cauchy, les égalités (2)-(4) de la solution du problème
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En conséquence,
|f (x 1 ) − f (x 2 )| ε implique |x 1 − x 2 |
ε
N
.
Ceci signifie que (i) est vérifiée en prenant δ =
ε
N .
I.6. Équations fonctionnelles
I.6.1. Clairement, les fonctions f (x) = ax sont continues et vérifient l’équation fonctionnelle de Cauchy. On montre qu’il n’y a pas d’autres solutions
continues à cette équation. On observe d’abord que si f vérifie
f (x + y) = f (x) + f (y) pour x, y ∈ R,
(1)
alors f (2x) = 2f (x) pour tout x ∈ R. On montre par récurrence que
f (nx) = nf (x)
(2)
pour tout n ∈ N ∗ . Si on remplace x par
x
n dans (2), on obtient
f
x
n
=
1
n
f (x).
(3)
Si r =
p
q , où p, q ∈ N ∗ , alors (2) et (3) impliquent
f (rx) = f
p
q
x
= pf
1
q
x
=
p
q
f (x) = rx.
(4)
La relation (2) implique f (0) = 0. Combiné à (1), cela donne 0 = f (0) =
f (x) + f (−x) ou, dit autrement, f (−x) = −f (x). On obtient donc, avec (4),
−rf (x) = f (−rx) = −f (rx) pour tout rationnel négatif r. Puisque pour tout
réel α, il existe une suite {r n } de rationnels convergente vers α et puisque f
est continue, on a, d’après (4),
f (αx) = f
lim
n→+∞
r n x
= lim
n→+∞
f (r n x) = lim
n→+∞
r n f (x) = αf (x).
En prenant x = 1, on obtient f (α) = αf (1). Ainsi, f (x) = ax où a = f (1).
I.6.2.
(a) On montre que si f est continue en au moins un point et vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy, elle est alors continue sur R. La proposition
se déduit alors du problème précédent. Clairement si f vérifie l’équation
fonctionnelle de Cauchy, les égalités (2)-(4) de la solution du problème
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