Chapitre I. Limites et continuité
précédent sont vérifiées. On montre d’abord que la continuité de f en x 0
implique la continuité en 0. En effet, si {z n } est une suite convergente
vers 0, alors {z n + x 0 } converge vers x 0 . De plus, l’égalité
f (z n + x 0 ) = f (z n ) + f (x 0 )
et la continuité de f en x 0 impliquent lim
n→+∞
f (z n ) = 0 = f (0). Si maintenant x est un réel et {x n } une suite convergente vers x, alors {x n − x}
converge vers 0. L’égalité f (x n − x) = f (x n ) − f (x) et la continuité de f
en 0 impliquent lim
n→+∞
f (x n ) = f (x).
(b) On montre d’abord que si f vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy et
est majorée sur l’intervalle ]a , b[, elle est alors bornée sur tout intervalle
]−ε , ε[, ε > 0. On considère pour cela la fonction
g(x) = f (x) − f (1) x, x ∈ R.
Clairement, g vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy et on déduit de
la solution de I.6.1 que g(r) = 0 pour r ∈ Q. Pour x ∈ ]−ε , ε[, on trouve
un rationnel r tel que x + r ∈ ]a , b[. On a alors g(x) = g(x) + g(r) =
g(x + r) = f (x + r) − f (1)(x + r), ce qui implique que g est majorée sur
]−ε , ε[ et il en est donc de même pour f . Puisque f (−x) = −f (x), f
est aussi minorée sur ]−ε , ε[. On montre maintenant que f est continue
en 0. Soit {x n } une suite convergente vers 0. On choisit une suite {r n }
de rationnels qui tend vers +∞ de sorte que lim
n→+∞
x n r n = 0. La suite
{|f (x n r n )|} est alors majorée, par exemple par M , et
|f (x n )| =
f
1
r n
r n x n
=
1
r n
|f (r n x n )|
M
r n
.
Donc, lim
n→+∞
f (x n ) = 0 = f (0). La proposition se déduit alors de (a).
(c) On suppose, par exemple, que f est croissante. Les égalités (2)-(4) de la
solution de I.6.1 impliquent
−
1
n
f (1) f (x)
1
n
f (1)
pour −
1
n < x <
1
n . La fonction f est donc continue en 0 et la proposition
se déduit de (a).
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