Chapitre I. Limites et continuité
Ceci, combiné avec le résultat de I.5.13, donne
|f (x 1 )g(x 1 ) − f (x 2 )g(x 2 )| M ||x 1 | f (x 1 ) − |x 2 | f (x 2 )|
+ ML |x 2 − x 1 | + L |g(x 1 ) − g(x 2 )| ,
où
M = sup
|g(x)|
|x|
: |x| δ 1
,
L = max
sup {|f (x)| : |x| δ 1 } , sup
|x| |f (x)|
|x|
: |x| δ 1
.
Le résultat cherché se déduit donc de la continuité uniforme de g(x) et de
|x| f (x) sur R.
I.5.22. On suppose que f est uniformément continue sur I. Étant donné
ε > 0, il existe alors δ > 0 tel que
|x 1 − x 2 | < δ implique |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε.
(i)
On prouve que, étant donné ε > 0, il existe N > 0 tel que
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
> N implique |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε
(ii)
pour tous x 1 , x 2 ∈ I, x 1 = x 2 . Clairement, cette implication est équivalente à
|f (x 1 ) − f (x 2 )| ε implique
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
N.
D’après (i), si |f (x 1 ) − f (x 2 )| ε, alors |x 1 − x 2 | δ. On peut, sans perte de
généralité, supposer que x 1 < x 2 et f (x 1 ) < f(x 2 ). Puisque f (x 2 ) − f (x 1 ) ε,
il existe η ∈ [ε , 2ε] et un entier strictement positif k tels que f (x 2 ) = f (x 1 )+kη.
La propriété des valeurs intermédiaires appliquée à f sur l’intervalle [x 1 , x 2 ]
implique alors qu’il existe x 1 = z 0 < z 1 < . . . < z k = x 2 tels que
f (z i ) = f (x 1 ) + iη, i = 1, 2, . . . , k. On a |f (z i ) − f (z i−1 )| = η ε, donc
|z i − z i−1 | δ et |x 1 − x 2 | kδ. En posant N =
2ε
δ , on obtient
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
kη
kδ
=
η
δ
2ε
δ
= N.
On suppose maintenant que (ii) est vérifiée. Étant donné ε > 0, il existe alors
N > 0 tel que
|f (x 1 ) − f (x 2 )| ε implique
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
N.
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