Solutions
La fonction f est continue sur R ∗
+ , lim
x→+∞
f (x) = 0 et lim
x→0 +
f (x) =
1
2 .
D’après I.5.7, f est uniformément continue sur R ∗
+ . Par ailleurs,
lim
n→+∞
f
n +
1
n
f (n)
= 2.
I.5.19. Par continuité de f en 0, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
|f (x)| < ε pour |x| < δ. La sous-additivité de f entraîne donc
f (x + t) − f (x) f (t) < ε et f (x) − f (x + t) f (−t) < ε
pour x ∈ R et |t| < δ. En conséquence, |f (x + t) − f (x)| < ε, ce qui prouve
l’uniforme continuité de f sur R.
I.5.20. On observe que ω f est croissante sur R ∗
+ . Donc (voir I.1.35),
lim
δ→0 +
ω f (δ) = inf
δ>0
ω f (δ) 0.
Si lim
δ→0 +
ω f (δ) = 0, étant donné ε > 0, il existe alors δ > 0 tel que ω f (δ) < ε.
Donc, si |x 1 − x 2 | < δ, alors |f (x 1 ) − f (x 2 )| ω f (δ) < ε. Ceci signifie que f
est uniformément continue sur A.
On suppose maintenant que f est uniformément sur A. Étant donné ε > 0,
il existe alors δ 0 > 0 tel que |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε pour |x 1 − x 2 | < δ 0 . Donc,
lim
δ→0 +
ω f (δ) ω f (δ 0 ) ε et, ε pouvant être choisi arbitrairement petit, on a
lim
δ→0 +
ω f (δ) = 0.
I.5.21. Clairement, il suffit de prouver que (b) implique (a). Soit ε > 0.
Puisque f g est continue en 0, il existe δ 1 > 0 tel que
|x| < δ 1 implique |f (x)g(x) − f (0)g(0)| <
ε
2
.
Donc, si |x 1 | < δ 1 et |x 2 | < δ 1 , alors |f (x 1 )g(x 1 ) − f (x 2 )g(x 2 )| < ε. Pour
|x 1 | δ 1 , on a
|f (x 1 )g(x 1 ) − f (x 2 )g(x 2 )|
|g(x 1 )|
|x 1 |
|x 1 | |f (x 1 )−f (x 2 )|+|f (x 2 )| |g(x 1 )−g(x 2 )| .
Donc,
|f (x 1 )g(x 1 ) − f (x 2 )g(x 2 )|
|g(x 1 )|
|x 1 |
(||x 1 | f (x 1 )−|x 2 | f (x 2 )|+|f (x 2 )| |x 2 −x 1 |)
+ |f (x 2 )| |g(x 1 ) − g(x 2 )| .
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