Chapitre I. Limites et continuité
I.5.16. On suppose, contrairement à l’énoncé, que f n’est pas uniformément
continue sur A. Il existe donc ε > 0 tel que pour tout entier n strictement positif, il existe x n et x
n dans A vérifiant |x n − x
n | <
1
n et |f (x n ) − f (x
n )| ε.
Puisque A est borné, il existe une sous-suite convergente {x n k } extraite de
{x n }. On déduit de ce qui précède que la suite {x
n k
} converge vers la même
limite. La suite {z k } formée des termes x n 1 , x
n 1 , x n 2 , x
n 2 , . . . , x n k , x
n k
, . . . est
convergente et il s’agit donc d’une suite de Cauchy. Mais
f (x n k ) − f (x
n k
)
ε
ce qui implique que {f (z k )} n’est pas une suite de Cauchy, contradiction.
Le fait que A soit borné est essentiel. Pour le voir, considérez la fonction
f (x) = x 2 définie sur R ∗
+ .
I.5.17. La nécessité de la condition se déduit immédiatement de la définition
de la continuité uniforme. On suppose maintenant que la condition donnée est
vérifiée et que f n’est pas uniformément continue sur A. Il existe alors ε > 0 tel
que, pour tout entier n strictement positif, il existe x n et y n dans A vérifiant
|x n − y n | <
1
n et |f (x n ) − f (y n )| ε, contradiction.
I.5.18. Non. On définit f par
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
2
pour x ∈ ]0 , 2],
1
n
pour x = n ∈ N, n 2,
2
n
pour x = n +
1
n , n ∈ N, n 2,
x − n +
1
n
pour x ∈
n , n +
1
n
, n ∈ N, n 2,
−
n+2
(n+1)(n−1)
x − n −
1
n
+
2
n
pour x ∈
n+
1
n , n+1
, n ∈ N, n 2.
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