204
A Character Tables
D ∞h ˆ
E ˆ
C
z
2
2 ˆ
C φ ∞ˆ σ v
ˆ
ı
2 ˆ
S φ ∞ ˆ
C ⊥
2
Σ +
g
11
1
11
1
1
x 2 + y 2 ,z 2
Σ −
g
11
1−11
1
−1 R z
Π g
2 −2 2 cos(φ)
02−2 cos(φ)
0 (R x ,R y )( x z , y z )
g
2 2 2 cos(2φ)
022 c o s (2φ)
0
(x 2 − y 2 ,xy)
Φ g
2 −2 2 cos(3φ)
02 −2 cos(3φ)
0
...
Σ +
u
11
1
1 −1
−1
−1 z
Σ −
u
11
1−1 −1
−11
Π u
2 −2 2 cos(φ)
0 −2
2 cos(φ)
0 (x, y)
u
2 2 2 cos(2φ)
0 −2 −2 cos(2φ)
0
Φ u
2 −2 2 cos(3φ)
0 −2 2 cos(3φ)
0
Spherical Symmetry
SO(3) ˆ
E
∞ ˆ
C
φθ
α
S
11
x 2 + y 2 + z 2
P
31 + 2 cos α
(x,y,z)(R x ,R y ,R z )
D
51 + 2 cos α + 2 cos 2α( 2z 2 − x 2 − y 2 ,
x 2 − y 2 ,xz,yz,xy)
...
L
2L + 1
sin(L+
1
2 )α
sin
1
2 α
O(3) ˆ
E
∞ ˆ
C
φθ
α
ˆ
ı
∞ˆ σ
∞ ˆ
S
θ,φ
α
S g
11
1
1
1
x 2 + y 2 + z 2
P g
31 + 2 cos α
3
−11 − 2 cos α( R x ,R y ,R z )
D g
51 + 2 cos α
51
1 − 2 cos αd -orbitals
+ 2 cos 2α
+ 2 cos 2α
L g
2L + 1
sin(L+
1
2 )α
sin
1
2 α
2L + 1
(−1) L (−1) L cos(L+
1
2 )α
cos
1
2 α
...
S u
11
−1
−1
−1
P u
31 + 2 cos α
−31
−1 + 2 cos αp -orbitals
D u
51 + 2 cos α
−5
−1
−1 + 2 cos α
+ 2 cos 2α
− 2 cos 2α
L u
2L + 1
sin(L+
1
2 )α
sin
1
2 α
−(2L + 1)( −1) L+1 (−1) L+1 cos(L+
1
2 )α
cos
1
2 α