A.1 Finite Point Groups
197
C 6h
ˆ
E ˆ
C 6 ˆ
C 3 ˆ
C 2 ˆ
C 2
3
ˆ
C 5
6
ˆ
ı ˆ
S 5
3
ˆ
S 5
6 ˆ
σ h ˆ
S 6 ˆ
S 3 ǫ = exp(2πi/6)
A g
111111111111 R z
x 2 + y 2 ,z 2
B g
1 −11 −11 −11 −11 −11 −1
E 1g
1 ǫ −¯ ǫ −1 −ǫ
¯
ǫ 1 ǫ −¯ ǫ −1 −ǫ
¯
ǫ (R x ,R y )( y z , x z )
1 ¯
ǫ −ǫ −1 −¯ ǫǫ1 ¯
ǫ −ǫ −1 −¯ ǫǫ
E 2g
1 −¯ ǫ −ǫ 1 −¯ ǫ −ǫ 1 −¯ ǫ −ǫ 1 −¯ ǫ −ǫ
1 −ǫ −¯ ǫ 1 −ǫ −¯ ǫ 1 −ǫ −¯ ǫ 1 −ǫ −¯ ǫ
A u
111111 −1 −1 −1 −1 −1 −1 zx 2 + y 2 ,z 2
B u
1 −11 −11 −1 −11 −11 −11
E 1u
1 ǫ −¯ ǫ −1 −ǫ
¯
ǫ −1 −ǫ
¯
ǫ 1 ǫ −¯ ǫ (x, y)
1 ¯
ǫ −ǫ −1 −¯ ǫǫ −1 −¯ ǫǫ1 ¯
ǫ −ǫ
E 2u
1 −¯ ǫ −ǫ 1 −¯ ǫ −ǫ −1 ¯
ǫǫ −1 ¯
ǫǫ
1 −ǫ −¯ ǫ 1 −ǫ −¯ ǫ −1 ǫ
¯
ǫ −1 ǫ
¯
ǫ
The Rotation–Reflection Groups S 2n (n = 2, 3, 4)
S 4
ˆ
E
ˆ
S 4
ˆ
C 2
ˆ
S 3
4
A
1111
R z
x 2 + y 2 ,z 2
B
1
−11
−1
zx 2 − y 2 ,xy
E
1
i
−1
−i
(x, y)(R x ,R y )( x z , y z )
1
−i
−1
i
S 6
ˆ
E
ˆ
C 3
ˆ
C 2
3
ˆ
ı
ˆ
S 5
6
ˆ
S 6 ǫ = exp(2πi/3)
A g
11
1
1
1
1R z
x 2 + y 2 ,z 2
E g
1 ǫ
¯
ǫ
1
ǫ
¯
ǫ (R x ,R y )
(x 2 − y 2 , xy)(yz, xz)
1
¯
ǫǫ
1
¯
ǫǫ
A u
11
1
−1 −1 −1 z
E u
1 ǫ
¯
ǫ
−1 −ǫ −¯ ǫ (x, y)
1
¯
ǫǫ−1 −¯ ǫ −ǫ
S 8
ˆ
E
ˆ
S 8 ˆ
C 4 ˆ
S 3
8
ˆ
C 2 ˆ
S 5
8
ˆ
C 3
4
ˆ
S 7
8 ǫ = exp(2πi/8)
A
11111111 R z
x 2 + y 2 ,z 2
B
1 −11 −11 −11 −1 z
E 1
1
ǫi −¯ ǫ −1 −ǫ −i
¯
ǫ (x, y)(R x ,R y )
1
¯
ǫ −i −ǫ −1 −¯ ǫiǫ
E 2
1
i −1 −i
1
i −1 −i
(x 2 − y 2 ,xy)
1 −i −1
i
1 −i −1
i
E 3
1 −¯ ǫ −iǫ −1
¯
ǫi −ǫ
(xz, yz)
1 −ǫi¯ ǫ −1
ǫ −i −¯ ǫ