Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.2.23. Supposons que |f (x ) − f (x )| L |x − x | pour x , x ∈ [a , b]. Si
x = x 0 < x 1 < · · · < x n = x , alors
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )|
n
i=1
L(x i − x i−1 ) = L(x
− x
).
En prenant la borne supérieure sur l’ensemble des partitions de [x , x ], on
obtient
v f (x
) − v f (x
) = V (f ; x
, x
) L(x
− x
).
I.2.24. D’après le théorème 1, f = p − q, où p et q sont monotones sur
[a , b]. Les limites à gauche et à droite de f existent donc en tout point de [a , b]
(voir, par exemple, I.1.35 (vol. II)). Supposons, contrairement à ce qu’affirme
l’énoncé, que x 0 est un point de discontinuité de f . Si f (x
+
0 ) − f (x
−
0 ) = d > 0,
alors par définition d’une limite à gauche ou à droite, il existe δ > 0 tel que
f (x) < f(x
−
0 ) +
d
3
pour x ∈ ]x 0 − δ , x 0 [
et
f (x) > f(x
+
0 ) −
d
3
pour x ∈ ]x 0 , x 0 + δ[ .
Si y ∈
f (x
−
0 ) +
d
3 , f(x
+
0 ) −
d
3
\ {f (x 0 )} ⊂ [f (x 1 ) , f(x 2 )] \ {f (x 0 )}, avec
x 1 ∈ ]x 0 − δ , x 0 [ et x 2 ∈ ]x 0 , x 0 + δ[, il n’existe alors pas de x ∈ ]x 1 , x 2 [
tel que f (x) = y, contradiction. Un raisonnement semblable s’applique si
f (x
+
0 ) = f (x
−
0 ) = f (x 0 ).
La dérivée f vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires (voir, par
exemple, II.2.31 (vol. II)), la seconde partie de l’énoncé suit immédiatement.
I.2.25. Pour x ∈ [a , b], soit P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } une partition de [a , x].
Puisque f est continue sur [a , b], les résultats de I.2.15 et I.1.26 impliquent
v f (x) = lim
μ(P )→0
n
k=1
|f (x k ) − f (x k−1 )|
= lim
μ(P )→0
n
k=1
x k
x k−1
f
(t) dt
= lim
μ(P )→0
n
k=1
f
(t k )
(x k − x k−1 ) =
x
a
f
(t)
dt.
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