Solutions
I.2.26. Clairement, il existe M > 0 tel que |f (x)| M pour x ∈ [a , b]. De
plus, pour a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b, en utilisant la première formule de la
moyenne (voir I.1.26), on obtient
n
i=1
|F (x i ) − F (x i−1 )| =
n
i=1
x i
a
f (t) dα(t) −
x i−1
a
f (t) dα(t)
=
n
i=1
x i
x i−1
f (t) dα(t)
=
n
i=1
|f (ξ i ) (α(x i ) − α(x i−1 ))|
M (α(b) − α(a)).
Il s’ensuit que V (f ; a, b) M (α(b) − α(a)).
I.2.27. Si lim
n→+∞
V (f n ; a, b) = +∞, l’inégalité est évidente. On suppose donc
que lim
n→+∞
V (f n ; a, b) = l < +∞. Étant donné ε > 0, il existe alors une soussuite {n k } telle que V (f n k ; a, b) < l + ε. On a donc, pour toute partition
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b,
n
i=1
|f n k (x i ) − f n k (x i−1 )| < l + ε.
En faisant tendre k vers +∞, on obtient
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )| l + ε
et l’inégalité voulue suit.
I.2.28. Puisque les séries
+∞
n=1
a n et
+∞
n=1
b n sont absolument convergentes,
étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
+∞
n=n 0
|a n | < ε et
+∞
n=n 0
|b n | < ε.
Si x = x k pour k ∈ N ∗ , il existe alors δ > 0 tel qu’il n’existe pas de
x n ∈ ]x − δ , x + δ[ pour n < n 0 . Il s’ensuit que, pour x − δ < y < x,
|f (y) − f (x)|
y |a n | +
yxn |b n | < 2ε.
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