Solutions
limites à gauche et à droite existent (voir, par exemple, I.1.35 (vol. II)) et la
fonction s est donc bien définie. Le résultat de I.2.20 implique qu’en tout point
où f est continue, les fonctions p et q le sont aussi. En conséquence, tous les
points de discontinuité de p et q sont contenus dans {x n }. Il suffit de montrer
que les fonctions g p = p − s p et g q = q − s q , où s p et s q sont respectivement
les fonctions de saut de p et q sont continues. Pour a x < b, on a
s p
x
+
= p
a
+
− p(a) +
xnx
p
x
+
n
− p
x
−
n
car lim
t→x +
p (x − ) = p (x + ) (voir, par exemple, I.1.36(a) (vol. II)). Il s’ensuit
que p (x + ) − p(x) = s p (x + ) − s p (x), prouvant ainsi que g p (x + ) = g p (x). De
plus, pour a < x b,
s p
x
−
= p
a
+
− p(a) +
xn p
x
+
n
− p
x
−
n
,
ce qui donne g p (x − ) = g p (x).
On a prouvé de cette façon que toute fonction à variation bornée peut
s’écrire comme la somme de sa fonction de saut et d’une fonction continue.
I.2.22. D’après le théorème 1, f (x) − f (a) = p(x) − q(x), où p et q sont
les fonctions de variation positive et négative de f . Les fonctions p et q sont
Riemann-intégrables (voir I.1.21) sur [a , b] et
b
a
f (x) dx = f (a)(b − a) +
b
a
p(x) dx −
b
a
q(x) dx.
Pour prouver la proposition, il suffit de démontrer que si p est croissante sur
[a , b], il en est de même de g définie par
g(a) = 0 et g(x) =
1
x − a
x
a
p(t) dt, x ∈ ]a , b] .
En effet, si a < x < y b, alors
g(y) − g(x) =
1
y − a
y
a
p(t) dt −
1
x − a
x
a
p(t) dt
=
x − y
(x − a)(y − a)
x
a
p(t) dt +
1
y − a
y
x
p(t) dt
x − y
(x − a)(y − a)
x
a
p(t) dt +
1
y − a
y
x
p(x) dt
=
x − y
(x − a)(y − a)
x
a
(p(x) − p(t)) dt 0.
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