Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
et
q(x) =
1 − cos x si x ∈ [0 , π],
2
si x ∈ [π , 2π].
(c) On a
v f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
si x ∈ [0 , 1[,
1 + x si x ∈ [1 , 2[,
2 + x si x ∈ [2 , 3[,
6
si x = 3,
et
p(x) = x et q(x) = [x].
I.2.20. Soit x 0 ∈ [a , b[ et lim
x→x
+
0
f (x) = f (x
+
0 ) = f (x 0 ). Il suffit de prouver que lim
x→x
+
0
V (f ; x 0 , x) = 0. Étant donné ε > 0, il existe ζ > x 0 tel que
|f (x) − f (x 0 )| <
ε
2 si x 0 < x < ζ. La définition de la variation totale implique
qu’il existe une partition x 0 < x 1 < · · · < x n = b telle que
V (f ; x 0 , b) |f (x 1 ) − f (x 0 )| + · · · + |f (x n ) − f (x n−1 )| +
ε
2
.
Donc, pour x 0 < x < min {x 1 , ζ}, on a
V (f ; x 0 , b) |f (x) − f (x 0 )| + |f (x 1 ) − f (x)|
+ · · · + |f (x n ) − f (x n−1 )| +
ε
2
ε + V (f ; x, b),
ce qui implique lim
x→x
+
0
V (f ; x 0 , x) = 0. La seconde partie de l’énoncé se démontre
de façon semblable.
On remarquera ici qu’une fonction f à variation bornée est continue en
x 0 si et seulement si v f est continue en x 0 . Par rapport à ce que nous avons
prouvé, il suffit de montrer que si v f est continue en x 0 , il en est de même
de f . Ceci se déduit immédiatement de |f (x) − f (x 0 )| |v f (x) − v f (x 0 )|.
I.2.21. D’après le théorème 1, la fonction f peut s’écrire comme la différence de deux fonctions croissantes, soit f = p − q. Puisque l’ensemble des
points de discontinuité d’une fonction croissante est au plus dénombrable (voir,
par exemple, I.2.29 (vol. II)), il en est de même pour une fonction à variation bornée. On remarque aussi qu’en tout point x n de discontinuité de f , les
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