Solutions
On en déduit que
p(y) − p(x)
1
2
(p 1 (y) − p 1 (x) + q 1 (y) − q 1 (x)+p 1 (y)−q 1 (y)−p 1 (x)+q 1 (x))
= p 1 (y) − p 1 (x).
Ceci implique immédiatement V (p; a, b) V (p 1 ; a, b). On tire une conclusion
analogue pour q et q 1 .
I.2.18. Puisque f est à variation bornée, elle est majorée, par exemple par
M > 0. Soit F (x) = ln x, x ∈ [m , M]. F vérifie une condition de Lipschitz car
F est bornée sur [m , M]. Il découle du résultat de I.2.9 que F ◦ f = ln f est
à variation bornée sur [a , b]. D’après le théorème 1,
ln f = p − q,
où p et q sont croissantes sur [a , b]. On peut donc prendre g = e p et h = e q .
I.2.19.
(a) On a
v f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
f (x) + 2
si x ∈ [−1 , 0],
2 − f (x)
si x ∈
0 ,
√
3
3
,
f (x) + 2 +
4
√
3
9
si x ∈
√
3
3 , 1
.
Donc,
p(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
f (x) + 2
si x ∈ [−1 , 0],
2
si x ∈
0 ,
√
3
3
,
f (x) + 2 +
2
√
3
9
si x ∈
√
3
3 , 1
et
q(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
si x ∈ [−1 , 0],
−f (x) si x ∈
0 ,
√
3
3
,
2
√
3
9
si x ∈
√
3
3 , 1
.
(b) On vérifie facilement que
v f (x) =
1 − cos x si x ∈ [0 , π],
cos x + 3 si x ∈ [π , 2π],
p(x) =
0
si x ∈ [0 , π],
cos x + 1 si x ∈ [π , 2π],
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