Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Puisque f est uniformément continue sur [a , b], on choisit δ > 0 assez petit
pour que |x − x | < δ et on a alors
f (x) − f (x
)
<
ε
4m
.
À partir d’une partition P de pas inférieur à δ, on forme une partition P 1 en
adjoignant tous les points de P ∗ . On a
V (f, P ) V (f, P 1 ) et V (f, P
∗ ) V (f, P 1 ).
De plus,
V (f, P 1 ) V (f, P ) +
ε
2
car P 1 est obtenue à partir de P en ajoutant au plus m nouveaux points et
V (f, P ) augmente donc au plus de 2m
ε
4m . En conséquence,
V (f, P ) V (f, P 1 ) −
ε
2
V (f, P
∗ ) −
ε
2
> V (f ; a, b) − ε.
I.2.16. Puisque f est continue, il existe des points de [x i−1 , x i ] où f prend
les valeurs M i et m i . Il est aussi clair que |f (x i ) − f (x i−1 )| M i − m i . Donc,
pour toute partition P ,
V (f ; a, b) W (f, P ) V (f, P ).
Le problème précédent implique que, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
V (f ; a, b) − V (f, P ) < ε si μ(P ) < δ. On en déduit que
0 V (f ; a, b) − W (f, P ) V (f ; a, b) − V (f, P ) < ε.
I.2.17. Il est clair que si f = αg 1 + βg 2 où g 1 , g 2 sont à variation bornée,
alors V (f ; a, b) |α| V (g 1 ; a, b) + |β| V (g 2 ; a, b). Donc, pour a x < y b,
V (f ; x, y) V (p 1 ; x, y) + V (q 1 ; x, y)
= p 1 (y) − p 1 (x) + q 1 (y) − q 1 (x).
Par définition,
p(y) − p(x) =
1
2
(v f (y) + f (y) − v f (x) − f (x))
=
1
2
(V (f ; x, y) + f (y) − f (x)) .
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