Solutions
On en déduit qu’il existe un C > 0 tel que
|f (x) − f (x )|
|x − x |
α
C.
On suppose maintenant que x < x , x ∈ [x n+1 , x n ] et x ∈ [x k+1 , x k ] où
n > k. On a alors
f (x) − f (x
)
|f (x) − f (x n )| +
f (x k+1 ) − f (x
)
C |x − x n |
α + C
x k+1 − x
α
2C max
|x − x n |
α ,
x k+1 − x
α
2C
x − x
α .
Pour voir que f n’est pas à variation bornée, on prend la partition
0 < x n <
x n + x n−1
2
< x n−1 < · · · < x 3 <
x 3 + x 2
2
< x 2
et on remarque que
V (f ; 0, x 2 )
2
n
+
2
n − 1
+ · · · +
2
2
− −−−− →
n→+∞
+∞.
I.2.14. Puisque V (f ; a, +∞) = lim
b→+∞
V (f ; a, b) < +∞, le théorème de Cauchy (voir, par exemple, I.1.37 (vol. II)) implique que, étant donné ε > 0, il
existe M > a tel que
V (f ; a, x) − V (f ; a, x
) = V (f ; x, x
) < ε
pour tous x > x > M. Donc,
f (x) − f (x
)
V (f ; x, x
) < ε,
ce qui, combiné avec le théorème de Cauchy, montre que lim
x→+∞
f (x) existe et
est finie.
Pour voir que l’implication réciproque est fausse, on considère la fonction
f (x) =
|sin x|
x , x 1. Clairement, lim
x→+∞
f (x) = 0 et
V (f ; 1, nπ) sin 1 +
4
π
1
3
+
1
5
+ . . . +
1
2n − 1
− −−−− →
n→+∞
+∞.
I.2.15. Soit ε > 0. On déduit de la définition de la variation totale V (f ; a, b)
qu’il existe une partition, notons-la P ∗ = {x ∗
0 , x ∗
1 , . . . , x ∗
n }, telle que
V (f, P
∗ ) > V (f ; a, b) −
ε
2
.
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