Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.2.11. On observe d’abord que si a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b, alors
|f (x i ) − f (x i−1 )| = ||f (x i )| − |f (x i−1 )|| dans le cas où f (x i ) et f (x i−1 ) sont
de même signe. Si ce n’est pas le cas, la continuité de f implique qu’il existe
ξ i ∈ ]x i−1 , x i [ tel que f (ξ i ) = 0. On a alors
|f (x i ) − f (x i−1 )| = |f (x i ) − f (ξ i ) + f (ξ i ) − f (x i−1 )|
|f (x i ) − f (ξ i )| + |f (ξ i ) − f (x i−1 )|
= ||f (x i )| − |f (ξ i )|| + ||f (ξ i )| − |f (x i−1 )|| .
En conséquence,
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )| 2V (|f | ; a, b).
L’exemple suivant montre que la continuité est une hypothèse essentielle :
f (x) =
1
si x ∈ [a , b] ∩ Q,
−1 si x ∈ [a , b] \ Q.
I.2.12. Puisque
h(x) = max {f (x), g(x)} =
|f (x) − g(x)| + f (x) + g(x)
2
,
le résultat découle du fait que la combinaison linéaire de deux fonctions à variation bornée est aussi à variation bornée et du fait que la valeur absolue
d’une fonction à variation bornée est à variation bornée (voir I.2.10).
I.2.13.
(a) Puisque
lim
x→0 +
f (x) − f (0)
x α
= lim
x→0 +
x −α
− ln x
= +∞
pour α > 0, on voit que f ne vérifie pas de condition de Hölder. Clairement, f est croissante sur
0 ,
1
2
et V
f ; 0,
1
2
=
1
ln 2 .
(b) On prouve que f vérifie une condition de Hölder pour tout 0 < α < 1.
Pour cela, on suppose d’abord que x, x ∈ [x n+1 , x n ] (x = x ) et on pose
g(x) = 2
ln
2 n
(x − x n+1 ) sur [x n+1 , x n ]. On a alors
|f (x) − f (x )|
|x − x |
α
|g(x) − g(x )|
|x − x |
α
=
2
ln
2 n
|x − x |
|x − x |
α
2 ln
2 n
n 1−α ln
2(1−α) n
− −−−− →
n→+∞
0.
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