Solutions
Pour prouver la seconde partie de l’énoncé, il suffit de montrer que si f est à
variation bornée sur [a , b] et inf
x∈[a,b]
|f (x)| = c > 0, alors
1
f est aussi à variation
bornée sur [a , b]. Pour toute partition de [a , b], on a
n
i=1
1
f (x i )
−
1
f (x i−1 )
=
n
i=1
f (x i ) − f (x i−1 )
f (x i )f (x i−1 )
1
c 2 V (f ; a, b).
I.2.8. Non. Considérez les fonctions
f (x) =
x 2 cos 2 π
x
si x ∈ ]0, 1],
0
si x = 0
et g(y) =
√
y, y ∈ [0 , 1]. Toutes deux sont à variation bornée sur [0 , 1] (la dérivée f est bornée sur [0 , 1] et g est croissante) et la composée h(x) = g(f (x))
est donnée par
h(x) =
x
cos
π
x
si x ∈ ]0, 1],
0
si x = 0.
Pour voir que h n’est pas à variation bornée, on considère la partition
0 <
1
n
<
1
n −
1
2
<
1
n − 1
< · · · <
1
2
<
1
2 −
1
2
< 1
et on remarque que
V (f ; 0, 1)
2
n
+
2
n − 1
+ · · · +
2
2
+ 1.
I.2.9. Soit g : [a , b] −→ [c , d] et f : [c , d] −→ R. Si f vérifie une condition
de Lipschitz , il existe alors L ≥ 0 (appelé constante de Lipschitz ) tel que
|f (x) − f (y)| L |x − y| pour tout x, y ∈ [c , d]. Donc, pour toute partition de
[a , b],
n
i=1
|f (g(x i )) − f (g(x i−1 ))| L
n
i=1
|g(x i ) − g(x i−1 )| LV (g; a, b).
I.2.10. Clairement, si f est à variation bornée sur [a , b], il en est de même
de |f | et, d’après I.2.6, f est bornée. Puisque x → x p vérifie une condition de
Lipschitz sur tout intervalle borné dans le domaine, la proposition découle du
résultat du problème précédent.
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Pour prouver la seconde partie de l’énoncé, il suffit de montrer que si f est à
variation bornée sur [a , b] et inf
x∈[a,b]
|f (x)| = c > 0, alors
1
f est aussi à variation
bornée sur [a , b]. Pour toute partition de [a , b], on a
n
i=1
1
f (x i )
−
1
f (x i−1 )
=
n
i=1
f (x i ) − f (x i−1 )
f (x i )f (x i−1 )
1
c 2 V (f ; a, b).
I.2.8. Non. Considérez les fonctions
f (x) =
x 2 cos 2 π
x
si x ∈ ]0, 1],
0
si x = 0
et g(y) =
√
y, y ∈ [0 , 1]. Toutes deux sont à variation bornée sur [0 , 1] (la dérivée f est bornée sur [0 , 1] et g est croissante) et la composée h(x) = g(f (x))
est donnée par
h(x) =
x
cos
π
x
si x ∈ ]0, 1],
0
si x = 0.
Pour voir que h n’est pas à variation bornée, on considère la partition
0 <
1
n
<
1
n −
1
2
<
1
n − 1
< · · · <
1
2
<
1
2 −
1
2
< 1
et on remarque que
V (f ; 0, 1)
2
n
+
2
n − 1
+ · · · +
2
2
+ 1.
I.2.9. Soit g : [a , b] −→ [c , d] et f : [c , d] −→ R. Si f vérifie une condition
de Lipschitz , il existe alors L ≥ 0 (appelé constante de Lipschitz ) tel que
|f (x) − f (y)| L |x − y| pour tout x, y ∈ [c , d]. Donc, pour toute partition de
[a , b],
n
i=1
|f (g(x i )) − f (g(x i−1 ))| L
n
i=1
|g(x i ) − g(x i−1 )| LV (g; a, b).
I.2.10. Clairement, si f est à variation bornée sur [a , b], il en est de même
de |f | et, d’après I.2.6, f est bornée. Puisque x → x p vérifie une condition de
Lipschitz sur tout intervalle borné dans le domaine, la proposition découle du
résultat du problème précédent.
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