Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Donc, f (a) f (x i ) f (b), i = 1, 2. En conséquence,
f (b) − f (a) f (x 1 ) − f (a) + |f (x 2 ) − f (x 1 )| + f (b) − f (x 2 )
V (f ; a, b) = f (b) − f (a),
ce qui donne f (x 2 ) − f (x 1 ) = |f (x 2 ) − f (x 1 )| 0.
I.2.5. On prouve d’abord que V (f ; 0, 1) = +∞ si α β. En effet, en prenant
0 <
1
n 1/β <
1
n −
1
2
1/β <
1
(n − 1)
1/β
< · · · <
1
2 −
1
2
1/β < 1,
on voit que
V (f ; 0, 1) > 1 +
n
i=2
2
i α/β − −−−− →
n→+∞
+∞.
Notre tâche est maintenant de démontrer que V (f ; 0, 1) < +∞ si α > β. Soit
P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } une partition de [0 , 1]. On prend n suffisamment grand
pour que n −1/β < x 1 et on ajoute à la partition P les points
1
n 1/β ,
1
n −
1
2
1/β ,
1
(n − 1)
1/β
, . . . ,
1
2 1/β ,
1
2 −
1
2
1/β .
On remarque que f est monotone sur chacun des intervalles
i −1/β ,
i −
1
2
−1/β
pour i = 2, 3, . . ., n et
i +
1
2
−1/β , i −1/β
pour
i = 1, 2, . . ., n − 1. Donc,
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )|
n
i=1
2
i α/β 2
+∞
i=1
1
i α/β < +∞.
I.2.6. On déduit immédiatement de la définition de V (f ; a, b) que, pour
x ∈ [a , b],
|f (x)| |f (a)| + V (f ; a, b).
I.2.7. On déduit du problème précédent que les fonctions f et g sont bornées
sur [a , b], autrement dit, qu’il existe des constantes strictement positives C et
D telles que |f (x)| < C et |g(x)| < D sur [a , b]. Si h = f g, alors pour toute
partition de [a , b], on a
n
i=1
|h(x i ) − h(x i−1 )| C
n
i=1
|g(x i ) − g(x i−1 )| + D
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )|
CV (g; a, b) + DV (f ; a, b).
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