Solutions
si le pas de la partition est suffisamment petit. Il s’ensuit que
b
a
df
dα
(x) dα(x) − (f (b) − f (a))
< ε.
I.2. Fonctions à variation bornée
I.2.1. Il est clair que f est dérivable sur [0 , 1]. Pour prouver qu’elle n’est pas
à variation bornée, on considère la partition
0 <
1
n
<
1
n −
1
2
<
1
n − 1
< · · · <
1
2
<
1
2 −
1
2
< 1.
La fonction étant monotone sur chacun des intervalles
1
√
i
,
1
√
i−1/2
pour
i = 2, 3, . . . , n et
1
√
i+1/2
,
1
√
i
pour i = 1, 2, . . . , n − 1, on voit que
V (f ; 0, 1) 1 +
n
i=2
2
i
− −−−− →
n→+∞
+∞.
I.2.2. D’après le théorème des accroissements finis, pour toute partition
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b,
n
i=1
|f (x i ) − f (x i−1 )| =
n
i=1
f
(ξ i )
(x i − x i−1 ) M (b − a)
où M = sup
x∈[a,b]
|f (x)|.
I.2.3. Puisque f est bornée sur [0, 1], d’après le résultat du problème précédent, f est à variation bornée sur [0 , 1].
I.2.4. Clairement, si f est croissante sur [a , b], alors
V (f ; a, b) = f (b) − f (a).
Pour prouver l’implication réciproque, on suppose que V (f ; a, b) = f (b) − f (a)
et on prend a x 1 x 2 b. On a alors
f (b) − f (a) |f (x i ) − f (a)| + |f (b) − f (x i )| V (f ; a, b) = f (b) − f (a).
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