Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.1.30. On peut faire ici une analyse semblable à celle utilisée dans la démonstration de la première formule de la moyenne (voir I.1.26). On remarque
d’abord que si c ∈ ]a , b[ est un point où f atteint un extremum local, alors
df
dα (c) = 0. En effet, si par exemple f atteint un maximum local en c, on a
alors, pour h suffisamment petit,
f (c+h)−f (c)
α(c+h)−α(c) 0 si h > 0 et
f (c+h)−f (c)
α(c+h)−α(c) 0
si h < 0.
Fixons x et h et supposons, par exemple, que h est strictement positif. On
pose
g(t) = (f (x + h) − f (x)) α(t) − (α(x + h) − α(x)) f (t).
La fonction g est continue sur [a , b] et g(x) = g(x + h). Si g est constante sur
[x , x+h], alors
dg
dα (t) = 0 pour tout t ∈ ]x , x + h[. Si, par exemple, g(t) > g(x)
pour un certain t ∈ ]x , x + h[, alors g atteint son maximum en un certain c et
c ∈ ]x , x + h[. Donc,
dg
dα (c) = 0. D’autre part,
dg
dα
(c) = (f (x + h) − f (x)) − (α(x + h) − α(x))
df
dα
(c) .
On en déduit que
f (x + h) − f (x)
α(x + h) − α(x)
=
df
dα
(c)
pour un certain c situé entre x et x + h.
Donc, pour toute partition {x 0 , x 1 , . . . , x n } de [a , b], on a
f (b) − f (a) =
n
k=1
f (x k ) − f (x k−1 )
α(x k ) − α(x k−1 )
(α(x k ) − α(x k−1 ))
=
n
k=1
df
dα
(t k ) (α(x k ) − α(x k−1 ))
pour certains t k ∈ ]x k−1 , x k [. On a d’autre part, d’après la première formule
de la moyenne,
b
a
df
dα
(x) dα(x) =
n
k=1
x k
x k−1
df
dα
(x) dα(x)
=
n
k=1
df
dα
(τ k ) (α(x k ) − α(x k−1 ))
pour certains τ k ∈ [x k−1 , x k ]. La continuité uniforme de
df
dα implique alors que,
étant donné ε > 0,
df
dα
(τ k ) −
df
dα
(t k )
<
ε
α(b) − α(a)
74