Solutions
x ∈ [c 1 , d 1 ] et f (x) < M pour x ∈ [c 2 , d 2 ]. Puisque α est strictement croissante, on voit que
m <
b
a f (x) dα(x)
α(b) − α(a)
< M.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c dans l’intervalle ouvert d’extrémités x 1 et x 2 pour lequel l’égalité cherchée est vérifiée.
On remarque que l’hypothèse de stricte monotonie de α est essentielle. En
effet, si
α(x) =
0 si x = a,
1 si x ∈ ]a , b]
et si f est continue sur [a , b], alors
b
a
f (x) dα(x) = f (a).
I.1.28.
(a) Il est clair (voir, par exemple, I.1.23) que
bε
aε
f (x)
x
dx =
bε
aε
f (x)d(ln x).
On a alors, en utilisant la première formule de la moyenne (voir I.1.26),
bε
aε
f (x)d(ln x) = f (c(ε))(ln(bε) − ln(aε)) = f (c(ε)) ln
b
a
.
La limite est donc égale à f (0) ln
b
a .
(b) Comme en (a), on a
lim
n→+∞
1
0
x n
1 + x
dx = lim
n→+∞
1
0
1
1 + x
d
x n+1
n + 1
= lim
n→+∞
1
(1 + c n )(n + 1)
= 0.
I.1.29. D’après la première formule de la moyenne (voir I.1.26),
lim
h→0
F (x + h) − F (x)
α(x + h) − α(x)
= lim
h→0
f (c(h))(α(x + h) − α(x))
α(x + h) − α(x)
= f (x),
la dernière égalité découlant de la continuité de f .
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