Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Alors, α = (α−α 1 )+α 1 et α−α 1 = α 2 est continue sur [a , b]. De plus, excepté
pour un nombre fini de points, α
2 = α . On obtient donc, d’après I.1.20,
b
a
f (x)α
2 (x) dx =
b
a
f (x)α
(x) dx.
En conséquence, en utilisant les résultats du problème précédent et de I.1.13,
on a b
a
f (x) dα(x) =
b
a
f (x) dα 1 (x) +
b
a
f (x) dα 2 (x)
=
b
a
f (x) dα 1 (x) +
b
a
f (x)α
(x) dx
= f (a)
α(a
+ ) − α(a)
+
m
k=1
f (c k )
α(c
+
k ) − α(c
−
k )
+ f (b)
α(b) − α(b
− )
+
b
a
f (x)α
(x) dx.
I.1.25. On obtient, à l’aide du résultat du problème précédent,
2
−2
x
2 dα(x) =
−1
−2
x
2 dx +
2
0
2x
3 dx + (−1)
2
× 1 + 0 × 1 =
34
3
.
I.1.26. Clairement,
m(α(b) − α(a))
b
a
f (x) dα(x) M (α(b) − α(a)),
où m = inf {f (x) : x ∈ [a , b]} et M = sup {f (x) : x ∈ [a , b]}. On a donc
m
b
a f (x) dα(x)
α(b) − α(a)
M.
Puisque f est continue sur [a , b], les valeurs m et M sont atteintes dans [a , b]
et d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
b
a
f (x) dα(x) = f (c)(α(b) − α(a))
pour un certain c ∈ [a , b].
I.1.27. Si f est constante sur [a , b], la proposition est évidente. Si f
n’est pas constante, on pose alors m = inf {f (x) : x ∈ [a , b]} = f (x 1 ) et
M = sup {f (x) : x ∈ [a , b]} = f (x 2 ). On a m < M et la continuité de f implique l’existence de sous-intervalles [c 1 , d 1 ] et [c 2 , d 2 ] tels que f (x) > m pour
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