Solutions
d’après I.1.11, on sait que, étant donné ε > 0, il existe δ 1 > 0 et δ 2 > 0 tels
que
S(P, f α
) −
b
a
f α
dx
< ε
si μ(P ) < δ 1 et
S(P, α
) −
b
a
α
dx
< ε
si μ(P ) < δ 2 . Puisque l’on peut choisir arbitrairement les points intermédiaires
t k dans [x k−1 , x k ], on voit que
n
k=1
α
(t k ) − α
(τ k )
(x k − x k−1 ) < 2ε
si μ(P ) < δ 2 et t k , τ k ∈ [x k−1 , x k ]. En conséquence, si P est une partition de
pas inférieur à min {δ 1 , δ 2 } contenant les points où α n’existe pas, alors
S(P, f, α) −
b
a
f α
dx
=
n
k=1
f (t k )α
(τ k )(x k − x k−1 ) −
b
a
f α
dx
n
k=1
f (t k )α
(t k )(x k − x k−1 ) −
b
a
f α
dx
+
n
k=1
f (t k )(α
(t k ) − α
(τ k ))(x k − x k−1 )
ε + 2Mε,
où M est un majorant de |f | sur [a , b]. Puisque α est continue, on peut montrer que si P 1 est une partition (de pas suffisamment petit) ne contenant pas
de points où α n’existe pas, alors |S(P, f, α) − S(P 1 , f, α)| < ε.
I.1.24. On pose
ρ(x) =
0 si x 0,
1 si x > 0.
Pour a = c 0 < c 1 < · · · < c m < c m+1 = b, on définit
α 1 (x) =
m
k=0
α(c
+
k ) − α(c k )
ρ(x − c k )
−
m+1
k=1
α(c k ) − α(c
−
k )
ρ(c k − x).
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