Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
On a alors
U (P, f, α) − L(P, f, α) =
α(b) − α(a)
n
n
i=1
(f (x i ) − f (x i−1 ))
=
(α(b) − α(a))(f (b) − f (a))
n
< ε
pour n suffisamment grand.
Le corollaire suivant vaut la peine d’être noté ici :
Corollaire. Toute fonction monotone sur [a , b] est Riemann-intégrable sur cet
intervalle.
I.1.22. On suppose que c ∈ ]a , b[, α(c − ) = α(c), α(c) = α(c + ) et on se donne
ε > 0. Puisque f ∈ R(α), il existe une partition P telle que
U (P
, f, α) − L(P
, f, α) < ε.
(1)
Soit P : a = x 0 < x 1 < · · · < x k−1 < x k = c < x k+1 < · · · < x n = b l’affinement de P obtenu en ajoutant le point c. L’inégalité (1) est encore vérifiée si
on remplace P par P . En conséquence,
(M k−1 − m k−1 )(α(c) − α(x k−1 )) < ε et (M k − m k )(α(x k ) − α(c)) < ε.
Puisque α est monotone,
(M k−1 − m k−1 )(α(c) − α(c
− )) (M k−1 − m k−1 )(α(c) − α(x k−1 )) < ε.
Donc, pour x ∈ [x k−1 , c],
|f (x) − f (c)| M k−1 − m k−1 <
ε
α(c) − α(c − )
.
Ceci prouve que lim
x→c −
f (x) = f (c). On montre de la même façon que
lim
x→c +
f (x) = f (c). Un raisonnement semblable s’applique aussi dans les cas
c = a ou c = b.
I.1.23. Si les points où α n’existe pas sont inclus dans une partition
{x 0 , x 1 , . . . , x n } de [a , b], on a alors, d’après le théorème des accroissements
finis,
S(P, f, α) =
n
k=1
f (t k )(α(x k ) − α(x k−1 )) =
n
k=1
f (t k )α
(τ k )(x k − x k−1 ),
où τ k ∈ ]x k−1 , x k [. Vu le résultat de I.1.20, on peut prolonger arbitrairement la
fonction α à tout l’intervalle [a , b]. Puisque f α et α sont Riemann-intégrables,
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