Solutions
On remarque alors que chacune des intégrales
i
n
i−1
n
f
2i − 1
2n
x −
2i − 1
2n
dx
s’annule et
1
24n
n
i=1
m i
n 2
2
n
i=1
i
n
i−1
n
f
(ξ i (x))
x −
2i − 1
2n
2
dx
1
24n
n
i=1
M i ,
où m i et M i sont les bornes inférieures et supérieures de f dans le i-ième
intervalle. Puisque f est Riemann-intégrable sur [0 , 1], le résultat cherché
suit.
I.1.19. Appliquez les résultats prouvés en I.1.16 et I.1.18 à f (x) =
1
1+x ,
x ∈ [0 , 1].
I.1.20. Il suffit de prouver que changer f en un point x ∈ [a , b] ne change
pas l’intégrabilité et la valeur de l’intégrale. Notons ˜
f la fonction modifiée et
m et M respectivement son minimum et son maximum sur [a , b]. Supposons,
par exemple, que x ∈ ]a , b[. Puisque ˜
f = f est intégrable sur [a , x − ε] et sur
[x + ε , b], étant donné ε > 0, il existe des partitions P 1 de [a , x − ε] et P 2 de
[x + ε , b] telles que
U (P i , ˜
f ) − L(P i , ˜
f ) < ε, i = 1, 2.
Donc, si P = P 1 ∪ P 2 , alors
U (P, ˜
f ) − L(P, ˜
f ) < 2ε + 2(M − m)ε,
ce qui prouve que ˜
f est Riemann-intégrable sur [a , b]. De plus,
b
a
˜
f (x) dx −
b
a
f (x) dx
=
x +ε
x −ε
˜
f (x) − f (x)
dx
2M
∗ ε,
où M ∗ est le sup de
˜
f − f
sur [a , b].
I.1.21. Supposons, par exemple, que f est croissante sur [a , b]. D’après le
théorème 1, il suffit de prouver que, étant donné ε > 0, il existe une
partition P telle que U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε. Considérons la partition
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b avec
x i − x i−1 =
α(b) − α(a)
n
.
69