Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Enfin, puisque f est continue sur [0 , 1], on obtient
lim
n→+∞
n
1
n
n
i=1
f
i
n
−
1
0
f (x) dx
=
1
2
1
0
f
(x) dx
=
f (1) − f (0)
2
.
En appliquant alors le résultat obtenu à f (x) = x k , on obtient
lim
n→+∞
n
1 k + 2 k + · · · + n k
n k+1
−
1
k + 1
=
1
2
.
I.1.17. On écrit
1 k + 3 k + · · · + (2n − 1) k
n k+1
=
1
n
1 k + 3 k + · · · + (2n − 1) k
n k
=
2 k
n
1
2n
k
+
3
2n
k
+ · · · +
2n − 1
2n
k
et on note que
2i − 1
2n
=
1
2
i − 1
n
+
i
n
est le milieu de
i−1
n ,
i
n
, i = 1, 2, . . . , n. La dernière somme est donc égale à
un S(P, f ) pour f (x) = 2 k x k et la limite est égale à
2 k
k+1 .
I.1.18. D’après la formule de Taylor, on a
f (x) − f
2i − 1
2n
= f
2i − 1
2n
x −
2i − 1
2n
+
1
2
f
(ξ i (x))
x −
2i − 1
2n
2
.
En conséquence,
n
2
1
0
f (x) dx −
1
n
n
i=1
f
2i − 1
2n
= n
2
n
i=1
i
n
i−1
n
f (x) − f
2i − 1
2n
dx
= n
2
n
i=1
i
n
i−1
n
f
2i − 1
2n
x −
2i − 1
2n
dx
+
n 2
2
n
i=1
i
n
i−1
n
f
(ξ i (x))
x −
2i − 1
2n
2
dx.
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