Solutions
I.1.15. La fonction
f (x) =
sin x
x
si x ∈ ]0 , π],
1
si x = 0
est continue sur [0 , π] et strictement positive sur [0 , π[. Elle est donc Riemannintégrable et
π
0 f (x) dx > 0. De plus, puisque
S n =
sin
π
n+1
1
+
sin
2π
n+1
2
+ · · · +
sin
nπ
n+1
n
=
π
n + 1
sin
π
n+1
π
n+1
+
sin
2π
n+1
2π
n+1
+ · · · +
sin
nπ
n+1
nπ
n+1
,
on voit que
lim
n→+∞
S n =
π
0
f (x) dx > 0.
I.1.16. Observons d’abord que
n
1
n
n
i=1
f
i
n
−
1
0
f (x) dx
= n
1
n
n
i=1
f
i
n
−
n
i=1
i
n
i−1
n
f (x) dx
= n
n
i=1
i
n
i−1
n
f
i
n
− f (x)
dx
= n
n
i=1
i
n
i−1
n
f
(ξ i (x))
i
n
− x
dx,
la dernière égalité provenant du théorème des accroissement finis. Si on pose
m i = inf
f
(x) : x ∈
i−1
n ,
i
n
et
M i = sup
f
(x) : x ∈
i−1
n ,
i
n
,
on obtient
m i
i
n
i−1
n
i
n
− x
dx
i
n
i−1
n
f
(ξ i (x))
i
n
− x
dx M i
i
n
i−1
n
i
n
− x
dx
et, en conséquence,
1
2n
n
i=1
m i n
n
i=1
i
n
i−1
n
f
(ξ i (x))
i
n
− x
dx
1
2n
n
i=1
M i .
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